Ulkomitta

Wikipedia
Ohjattu sivulta Mitallinen funktio
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ulkomitta on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon X joukko. Kuvaus \mu^*: \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty] on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

  1. Tyhjälle joukolle pätee \mu^* (\emptyset) = 0
  2. Jos A \subset B \subset X, niin \mu^*(A) \leq \mu^*(B)
  3. Jos A_i \subset X kaikilla i \in \N, niin \mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right) \leq \sum_{i = 1}^\infty \mu^* (A_i).

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi.

Joukon mitallisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos \mu^*\, on ulkomitta X:ssä, niin joukkoa A \subset X kutsutaan \mu^*\,-mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla E \subset X pätee

{\mu}^*(E) = {\mu}^*(E \cap A) + {\mu}^*(E \cap \complement A).

Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää

\mathcal{M}_{{\mu}^*}(X) = \lbrace A \subset X \mid A \mbox{ on } {\mu}^*\mbox{-mitallinen} \rbrace ,

missä X ilmaisee perusjoukon ja \mu^*\, joukossa annetun ulkomitan.

Ulkomitan ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos B_1 \subset B_2 \subset ... ovat \mu^*\,-mitallisia joukkoja, niin

\mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (B_n).

Jos C_1 \supset C_2 \supset ... ovat \mu^*\,-mitallisia joukkoja ja \mu^* (C_1) < \infty, niin

\mu^* \left( \bigcap_{i = 1}^\infty C_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (C_n).

Jos joukot A_i, i \in \N, ovat \mu^*\,-mitallisia ja erillisiä, niin

\mu^* \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) = \sum_{i \in \N} \mu^* (A_i).

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

Carathéodoryn lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos \mu^* : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty ] on ulkomitta, niin sen rajoittuma \mu^*\,-mitallisiin joukkoihin eli funktio \mu^* | \mathcal{M}_{\mu^*}(X) on mitta X:ssä.

Erityisiä ulkomittoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.
  • Ulkomitta \mu^*\, on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella A \subset X on olemassa \mu^*\,-mitallinen joukko B s.e. A \subset B ja \mu^* (A) = \mu^* (B)\,. Jos vielä \mu^* (X) < \infty, niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko A \subset X on \mu^*\,-mitallinen jos ja vain jos
    \mu^* (A) + \mu^* (\complement A) = \mu^* (X).
  • Jos (X,d)\, on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa \mu^*\, sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta
    d(A,B) > 0\,
    seuraa ominaisuus
    \mu^* (A \cup B) = \mu^* (A) + \mu^* (B)
    kaikilla A,B \subset X\,. Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Funktion mitallisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos \mu^*\, on ulkomitta joukossa X ja A \subset X\,, niin funktio f: A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} \cup \{ +\infty \} on \mu^*\,-mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat \mu^*\,-mitallisia. Toisin sanoen joukot f^{-1} (G)\,, f^{-1} (\{ -\infty \} )\, ja f^{-1} (\{ +\infty \} )\, ovat \mu^*\,-mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla G \subset \mathbb{R}.

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on \mu^*\,-mitallinen jos ja vain jos joukko

\lbrace x \in A : f(x) > c \rbrace

on \mu^*\,-mitallinen kaikilla c \in \mathbb{R}.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]