Ikosaedrinen symmetria

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa
Sphere symmetry group cs.png
Involutionaalinen symmetria
Cs, (*)
[ ] = CDel node c2.png
Sphere symmetry group c3v.png
Syklinen symmetria
Cnv, (*nn)
[n] = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group d3h.png
Diedrinen symmetria
Dnh, (*n22)
[n,2] = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png
Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32)
Sphere symmetry group td.png
Tetraedrinen symmetria
Td, (*332)
[3,3] = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group oh.png
Oktaedrinen symmetria
Oh, (*432)
[4,3] = CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group ih.png
Ikosaedrinen symmetria
Ih, (*532)
[5,3] = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
Ikosaedrisen symmetrian perusalueet
Tavallinen pyöristetyn ja typistetyn ikosaedrin muotoinen jalkapallo, jolla on täysi ikosaedrinen symmetria

.

Ikosaedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen ikosaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 120 tavalla, joista 60 on orientaation säilyttäviä. Ikosaedrin ohella myös dodekaedrilla on dodekaedrinen symmetria, sillä se on ikosaedrin duaalikappale.

Ikosaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on A5, sama kuin viiden alkion alternoiva ryhmä, ja sen täysi symmetriaryhmä, johon kuuluvat myös peilaukset, on tämän alternoivan ryhmän ja syklisen ryhmän Z2 tulo A5 × Z2.[1] Jälkimmäinen ryhmä tunnetaan myös Coxeterin ryhmänä H3, ja sitä esittävät Coxeterin merkintä [5,3] ja Coxeterin diagrammi CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Pisteryhmänä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden kahta ääretöntä sarjaa lukuun ottamatta täydellä eli akiraalisella ikosaedrisella symmetrialla on kaikista diskreeteistä pistesymmetrioista ja samalla kaikista pallopinnan diskreeteista symmetrioista suurin symmetriaryhmä ja rotationaalisella eli kiraalisella ikosaedrisella symmetrialla toiseksi suurin.

Ikosaedrinen symmetria ei ole yhdistettävissä siirtosymmetriaan. Näin ollen ei myöskään ole olemassa sellaista kidejärjestelmää, jonka yksikkökopeilla olisi ikosaedrinen symmetria.[1]

Schoenflies Coxeter Orb. Abstrakti struktuuri Kertaluku
I [5,3]+ CDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png 532 A5 60
Ih [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png *532 A5×2 120

Näiden ryhmien presentaatiot ovat:

Nämä vastaavat rotationaalista ja täyttä ikosaedristä ryhmää, jotka ovat (2, 3, 5) -kolmioryhmät.

Ensimmäisen presentaation esitti William Rowan Hamilton ikosiaanilaskentaa koskevassa tutkielmassaan vuonna 1856.[2]

Ryhmä voidaan kuitenkin presentoida myös muilla tavoin, esimerkiksi alternoivana ryhmänä (I:lle).

Visualisointeja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Schoenflies
(Orb.)
Coxeter Alkioita Peilidiarammit
Ortogonaalinen Stereografinen projektio
Ih
(*532)
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node c1.pngCDel 5.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
[5,3]
Peili-
viivojas:
15CDel node c1.png
Spherical disdyakis triacontahedron.png Disdyakis triacontahedron stereographic d5.svg Disdyakis triacontahedron stereographic d3.svg Disdyakis triacontahedron stereographic d2.svg
I
(532)
CDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Coxeter diagram chiral icosahedral group.png
[5,3]+
Pyörähdys-
pisteitä:
125Patka piechota.png
203Armed forces red triangle.svg
302Rhomb.svg
Sphere symmetry group i.png Disdyakis triacontahedron stereographic d5 gyrations.png
Patka piechota.png
Disdyakis triacontahedron stereographic d3 gyrations.png
Armed forces red triangle.svg
Disdyakis triacontahedron stereographic d2 gyrations.png
Rhomb.svg

Ryhmän rakenne[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spherical compound of five octahedra.png Disdyakis triacontahedron stereographic d2 5-color.png
Viiden oktaedrin pallomaisen yhdistelmän särmät esittävät 15 heijastustasoa, jotka on tässä merkitty väritetyillä isoilla ympyröillä. Jokainen oktaedri voi esittää kolmea toisiinsa nähden kohtisuoraa heijatustasoa, jotka kulkevat niiden särmien kautta.
Spherical compound of five octahedra-pyritohedral symmetry.png Disdyakis triacontahedron stereographic d2 pyritohedral.png
Pyritoedrinen symmetria on ikosaedrisen symmetrian aliryhmä, jonka indeksi on 5. Sillä on kolme tässä vihreällä merkittyä heijastussuoraa ja 8 punaista kertaluvun 3 pyörähdyspistettä. Indeksin 5 aliryhmänä sillä on 5 muuta pyritoedrisen symmetrian suuntaa.

Ikosaedrisen rotaatioryhmän I kertaluku on 60. Ryhmä I on isomorfinen alternoivan ryhmän A5 eli viiden alkion parillisten permutaatioiden ryhmän kanssa. Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa suorittamalla I:hin kuuluvat kuvaukset eri kohteille, erityisesti dodekaedrin ympäri piirretyille viiden kuution yhdistelmälle, viiden oktaedrin yhdistelmälle tai jommallekummalle kahdesta viiden tetraedrin yhdistelmästä (jotka ovat enantiomorfisia ja ympäröivät dodekaedria).

Ryhmä I sisältää 5 versiota ryhmästä Th, 20 versiota ryhmästä D3 (10 akselia, joista kutakin vastaa 2 versiota) sekä 6 versiota ryhmästä D5.

'Täyden ikosaedrisen ryhmän Ih kertaluku on 120. Se sisältää I:n normaalina aliryhmänä, jonka indeksi on 2. Ryhmä Ih in isomorfinen ryhmän I × Z2 eli A5 × Z2 kanssa.[1] Kun Z2 kirjoitetaan multiplikatiivisesti, sen alkiot ovat 1 ja -1, joista edellinen vastaa identtistä kuvausta, jälkimmäinen peilausta (inversiota) keskipisteen suhteen.

Ih toimii viiden kuution tai viiden oktaedrin yhdistelmissä, mutta alkio -1 toimii identtisen kuvauksen tavoin, koska kuutiolla ja oktaedrilla on symmetriakeskus. Se toimii myös kymmenen tetraedrin yhdistelmässä: I toimii kahdella kiraalisella puoliskolla ja -1 vaihtaa nämä puoliskot keskenään. On kuitenkin huomattava, että se ei vaikuta samoin kuin S5, sillä nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Ryhmä Ih sisältää aliryhminään 10 versiota ryhmästä D3d ja kuusi versiota ryhmästä D5d (antiprismojen kaltaiset symmetriat)

I on myös isomorfinen PSL2(5):n kanssa, mutta Ih ei ole isomorfinen SL2(5):n kanssa.

Muita saman kertaluvun ryhmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavilla ryhmillä on kaikilla kertaluku 120, mutta ne eivät ole isomorfisia:

Ne vastaavat seuraavia lyhyitä täsmällisiä sarjoja (joista jälkimmäinen ei jakaudu) ja tuloa

Sanallisesti ilmaistuna,

  • on :n aliryhmä
  • on suoran summan tekijä
  • on :n tekijäryhmä.

On huomattava, että ryhmällä on poikkeuksellinen palautumaton kolmiulotteinen lineraarinen esitysmuoto, ikosaedrinen rotaatioryhmä, mutta ryhmällä ei ole palautumatonta kolmiulotteista esitysmuotoa, mikä vastaa sitä seikkaa, ettei täysi ikosaedrinen ryhmä ole sama kuin symmetrinen ryhmä.

Nämä liittyvät lineaarisiin ryhmiin myös viiden alkion äärellisen kunnan kautta, joka osoittaa aliryhmät ja peiteryhmät suoraan; yksikään näistä ei ole täysi ikosaedrinen ryhmä.

Konjugaattiluokat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

konjugaattiluokat
I Ih
  • identtinen kuvaus
  • 12 kpl 72°:n rotaatioita, kertalukua 5
  • 12 kpl 144°:n rotaatioita, kertalukua 5
  • 20 kpl 120°:n rotaatioita, kertalukua 3
  • 15 kpl 180°:n rotaatioita, kertalukua 2
  • peilaus pisteen suhteen (inversio)
  • 12 kpl 108°:n rotoreflektioita (108°:n rotaation ja tason suhteen tehdyn peilauksen yhdistettyjä kuvauksia), kertalukua 10
  • 12 kpl 36°:n rotorefektioita, kertalukua 10
  • 20 kpl 60°:n rotoreflektioita, kertalukua 6
  • 15 kpl peilauksia tasojen suhteen, kertalukua 2

Täyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aliryhmärelaatiot
Kiraaliset aliryhmärelaatiot
Schoenfiles Coxeter Orb. H-M Rakenne Sykl. Kertaluku Indeksi
Ih [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png *532 532/m A5×Z2 120 1
D2h [2,2] CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png *222 mmm Dih2×Dih1=Dih13 GroupDiagramMiniC2x3.svg 8 15
C5v [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png *55 5m Dih5 GroupDiagramMiniD10.svg 10 12
C3v [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png *33 3m Dih3=S3 GroupDiagramMiniD6.svg 6 20
C2v [2] CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png *22 2mm Dih2=Dih12 GroupDiagramMiniD4.svg 4 30
Cs [ ] CDel node.png * 2 or m Dih1 GroupDiagramMiniC2.svg 2 60
Th [3+,4] CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node.png 3*2 m3 A4×Z2 GroupDiagramMiniA4xC2.png 24 5
D5d [2+,10] CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 10.pngCDel node.png 2*5 10m2 Dih10=Z2×Dih5 GroupDiagramMiniD20.png 20 6
D3d [2+,6] CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 6.pngCDel node.png 2*3 3m Dih6=Z2×Dih3 GroupDiagramMiniD12.svg 12 10
D1d = C2h [2+,2] CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node.png 2* 2/m Dih2=Z2×Dih1 GroupDiagramMiniD4.svg 4 30
S10 [2+,10+] CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h4.pngCDel 10.pngCDel node h2.png 5 Z10=Z2×Z5 GroupDiagramMiniC10.svg 10 12
S6 [2+,6+] CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h4.pngCDel 6.pngCDel node h2.png 3 Z6=Z2×Z3 GroupDiagramMiniC6.svg 6 20
S2 [2+,2+] CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h4.pngCDel 2.pngCDel node h2.png × 1 Z2 GroupDiagramMiniC2.svg 2 60
I [5,3]+ CDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png 532 532 A5 60 2
T [3,3]+ CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png 332 332 A4 GroupDiagramMiniA4.svg 12 10
D5 [2,5]+ CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.png 522 522 Dih5 GroupDiagramMiniD10.svg 10 12
D3 [2,3]+ CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png 322 322 Dih3=S3 GroupDiagramMiniD6.svg 6 20
D2 [2,2]+ CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.png 222 222 Dih2=Z22 GroupDiagramMiniD4.svg 4 30
C5 [5]+ CDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.png 55 5 Z5 GroupDiagramMiniC5.svg 5 24
C3 [3]+ CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png 33 3 Z3=A3 GroupDiagramMiniC3.svg 3 40
C2 [2]+ CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node h2.png 22 2 Z2 GroupDiagramMiniC2.svg 2 60
C1 [ ]+ CDel node h2.png 11 1 Z1 GroupDiagramMiniC1.svg 1 120

Kaikki nämä aliryhmien luokat ovat konjugaattisia ja voidaan tulkita geometrisesti.

On huomattava, että jokaisella kärjellä, särmällä, tahkolla ja monitahokkaalla on samat stabilisaattorit kuin vastakkaisella kärjellä, särmällä, tahkolla tai monitahokkaalla. Toisin sanoen symmetriakuvaus, joka kuvaa kappaleen jonkin kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen, kuvaa myös sille vastakkaisen kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen.

Kärkien stabilisaattorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kärjen stabilisaattorit ovat symmetriakuvauksia, joissa annettu kärki kuvautuu itselleen. Ne voidaan tulkita myös generoimansa akselin stabilisaattoreiksi.

  • kunkin kärjen stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän C3.
  • kunkin kärjen stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat diedriryhmän' D3.
  • kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän D3
  • kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit Ih:ssa muoodostaat ryhmän .

Särmien stabilisaattorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vastakkaisten särmien muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman suorakulmion stabilisaattoreiksi.

  • Kunkin särmän stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän Z2.
  • Kunkin särmän stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat Kleinin neliryhmän
  • Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat Kleinin neliryhmän
  • Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit Ih:ssa muoostavat ryhmän ; tällaisia pareja on viisi ja ne voidaan muodostaa peilauksilla kolmen kohtisuoran akselin suhteen.

Tahkojen stabilisaattorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vastakkaisten tahkojen muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman antiprisman stabilisaattoreiksi.

  • Kunkin tahkon stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän C5.
  • Kunkin tahkon stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat diedriryhmän D5.
  • Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat diedriryhmän D5.
  • Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit Ih:ssa muoostavat ryhmän .

Monitahokkaiden stabilisaattorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Näistä jokaiselle on viisi konjugaattista kopiota, ja konjugaatiotoimitus muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin .

  • Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion.
  • Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I'h:ssa muodostavat T:n kopion.
  • Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit I:ssä muoodostavat T:n kopion.
  • Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit Ih:ssä muoodostavat Th:n kopion.


Perusalueet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja täyden ikosaedrisen ryhmän perusalueet näkyvät seuraavassa kaaviossa:

Sphere symmetry group i.png
Ikosaedrinen rotaatioryhmä
I
Sphere symmetry group ih.png
Täysi ikosaedrinen ryhmä
Ih
Disdyakistriacontahedron.jpg
Disdyakis-triakontaedri, jonka tahkot ovat symmetrian perusalueita.

Disdyakis-triakontaedrin jokainen tahko on ikosaedrisen symmetrian perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, voidaan muodostaa siitä muuntamalla tahkoja eri tavoin, esimerkiksi tasoittamalla sopivasti valitut tahkojen ryhmät siten, että samaan ryhmään kuuluvat tahkot yhdistyvät yhdeksi tahkoksi, vaihtamalla jokainen tahko useamman tahkon yhdistelmään tai kaarevaan pintaan.

Monitahokkaat, joilla on ikosaedrinen symmetria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kiraaliset monitahokkaat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luokka Merkinnät Kuva
Arkhimedeen kappale sr{5,3}
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Snubdodecahedronccw.jpg
Catalanin kappale V3.3.3.3.5
CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Pentagonalhexecontahedronccw.jpg

Täysi ikosaedrinen symmetria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Platonin kappaleet Keplerin–Poinsot'n kappaleet Arkhimedeen kappaleet
Dodecahedron.jpg
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
SmallStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,5}
CDel node 1.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
GreatStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,3}]]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Truncatedicosahedron.jpg
t{3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Icosidodecahedron.jpg
r{3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rhombicosidodecahedron.jpg
rr{3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Truncatedicosidodecahedron.jpg
tr{3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Platonin kappaleet Keplerin–Poinsot'n kappaleet Arkhimedeen kappaleet
Icosahedron.jpg
{3,5}
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
GreatDodecahedron.jpg
{5,5/2}
CDel node f1.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png
GreatIcosahedron.jpg
{3,5/2}
CDel node f1.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Triakisicosahedron.jpg
V3.10.10
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Pentakisdodecahedron.jpg
V5.6.6
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Rhombictriacontahedron.jpg
V3.5.3.5
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Deltoidalhexecontahedron.jpg
V3.4.5.4
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Disdyakistriacontahedron.jpg
V4.6.10
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png

Muita ikosaedrisesti symmetrisiä kohteita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ikosaedrisesti symmetrisiä ovat myös:

Nestekiteet ja kvasikiteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hagen Kleinert ja K. Maki tutkivat vuonna 1981 yksityiskohtaisesti nestekiteiden rakennetta ja totesivat, että niissä esiintyy ikosaedrista symmetriaa[3] Kolme vuotta myöhemmin Dan Shechtman osoitti kokeellisesti, että eräät alumiinin seokset muodostavat kvasikiteitä, joissa esiintyy myös ikosaedrista symmetriaa. Tästä havainnostaan hän sai Nobelin palkinnon vuonna 2011.

Muita samantapaisia geometrioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ikosaedrisen symmetria on symmetriaryhmä on isomorfinen projektiivisen erityisen lineaarisen ryhmän PSL (2,5) kanssa, joka on myös modulaarisella käyrällä X(5). Yleisemminkin PSL(2,p) on modulaarisen käyrän X(p) symmetriaryhmä. Modulaarinen käyrä X(5) on geometrisesti dodekaedri, johon on lisätty kärki sen jokaisen tahkon keskipisteeseen, mikä kuvastaa sen symmetriaryhmää.

Tätä geometriaa ja siihen liittyvää symmetriaryhmää tutki Felix Klein vuonna 1888 Belyin pinnan monodromiaryhminä. Belyin punta on Riemannin pinta, joka voidaan kuvata holomorfisesti Riemannin pallolle niin, että sehaarautuu vain pisteissä 0, 1 ja &infinity; (Belyun funktio). Kärjet vastaavat äärettömyydessä olevia pisteitä, kun taas kärjet ja särmien keskipisteet vastaavat pisteitä 0 ja 1. Kuvauksen aste on 5, eli se peittää pallon viisi kertaa.

Klein päätyi teoriaansa yrittäessään selittää geometrisesti, miksi ikosaedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen viidennen asteen yhtälön Galois'n ryhmän A5 kanssa.[4][5]

Jatkaessaan tutkimuksiaan Klein löysi kertalukujen 7 ja 11 symmetrioita sekä niihin liittyviä Riemannin pallon 7. ja 11. asteen peitteitä[6][7] Hän muodosti myös neljännen asteen pinnan, jonka geometria voidaan laatoittaa 24 seitsenkulmiolla, joista jokaisen keskipisteessä on kärki.

Vastaavia geometrioita esiintyy myös PSL(2,n):ssä sekä yleisemmin muiden modulaaristen käyrien ryhmissä.

On myös löydetty yhteyksiä ryhmien PSL(2,5) (kertalukua 60), PSL(2,7) (kertalukua 168) ja PSL(2,11) (kertalukua 660) välillä. Nämäkin ryhmät voidaan tulkita geometrisesti: PSL(2,5) on ikosaedrin, (genus 0), PSL(2,7) Kleinin neljännen asteen pinnan (genus 3) ja PSL(2,11) buckyball-pinnan (genus 70) symmetriaryhmä. Nämä ryhmät muodostavat Vladimir Arnoldin tarkoittamassa mielessä kolmikon, jonka jäsenten välillä on monia yhteyksiä.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Icosahedral symmetry

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), s. 296
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass: The Symmetries of Things. {{{Julkaisija}}}, 2008. ISBN 978-1-56881-220-5.
  • F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (toim): Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter. Wiley-Interscience Publication, 1995. 978-0-471-01003-6. Teoksen verkkoversio.
  • Norman Johnson: ”11.5: Finite symmetry groups, Spherical Coxeter groups”, Geometries and Transformations. , 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Icosahedral Group Wolfram MathWorld. Erik Weisstein. Viitattu 10.9.2019.
  2. William Rowan Hamilton: Philosophical Magazine, 1856, nro 12. Artikkelin verkkoversio.
  3. H. Kleinert, K. Maki: Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals. Fortschritte der Physik, 1981, nro 5, s. 219–259. doi:10.1002/prop.19810290503. Artikkelin verkkoversio.
  4. Felix Klein: Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. englanniksi kääntänyt George Gavin Morrice. Trübner & Co, 1888. ISBN 0486-49528-0.
  5. Gábor Tóth: ”Section 1.6, Additional topic: Klein's Thery of the Icosahedron”, Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli, s. 66. Springer, 2002. Teoksen verkkoversio.
  6. Felix Klein: Mathematische Annalen, 1878, nro 3, s. 428–471. doi:10.1007/BF01677143. Artikkelin verkkoversio.
  7. Felix Klein: Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions). Mathematische Annalen, 1879, nro 3–4, s. 533–555. doi:10.1007/BF02086276. Artikkelin verkkoversio.