Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Tämä artikkeli käsittelee diedristä symmetriaa kolmessa ulottuvuudessa. Diedrisestä symmetriasta kahdessa ulottuvuudessa kerrotaan artikkelissa diedriryhmä.
Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa
Sphere symmetry group cs.png
Involutionaalinen symmetria
Cs, (*)
[ ] = CDel node c2.png
Sphere symmetry group c3v.png
Syklinen symmetria
Cnv, (*nn)
[n] = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group d3h.png
Diedrinen symmetria
Dnh, (*n22)
[n,2] = CDel node c1.pngCDel n.png6pCDel 2.pngCDel node c1.png
Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32)
Sphere symmetry group td.png
Tetraedrinen symmetria
Td, (*332)
[3,3] = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group oh.png
Oktaedrinen symmetria
Oh, (*432)
[4,3] =

CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png

Sphere symmetry group ih.png
Ikosaedrinen symmetria
Ih, (*532)
[5,3] = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png

Diedrinen symmetria on geometriassa sellaisen kolmiulotteisen kappaleen tai pistejoukon symmetria, jolla on symmetriaryhmänä jokin abstakti diedriryhmä Dihn ( n ≥ 2 ). Eri tavoin diedrisesti symmetrisiä kappaleita ovat muun muassa särmiöt, bipyramidit, antiprismat ja trapetsoedrit. Tällaiselle kappaleelle voidaan suorittaa jonkin akselin ympäri 360/n asteen rotaatio, jolla se kuvautuu itselleen, toisin sanoen tämä rotaatio on kappaleen symmetriaoperaatio. Lisäksi kappaleen symmetriaoperaatiota saattavat olla peilaukset eräiden tämän akselin kautta kulkevien tai sitä vastaan kohtisuorien tasojen suhteen.

Tyypit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmessa ulottuvuudessa on kolme tyyppiä diedrisiä symmetrioita. Seuraavassa esitetään ne kaikki Schönfliesin, Coxeterin ja orbifoldimerkinnöillä.

Kiraalinen
  • Dn, [n,2]+, (22n) kertaluvun 2ndiedrinen symmetria eli para-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dihn)
Akiraaliset
  • Dnh, [n,2], (*22n), kertaluvun 4nprismaattinen symmetria eli täysi orto-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dihn × Z2)
  • Dnd (tai Dnv), [2n,2+], (2*n), kertaluvun 4nantiprismaattinen symmetria eli täysi gyro-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dih2n)

Kun luku n on annettu, kaikilla kolmella on n-kertainen pyörähdyssymmetria yhden akselin suhteen (rotaatiossa kulman 360°/n kappale ei muutu), ja kaksinkertainen symmetria kohtisuoran akselin suhteen. Arvolla n = ∞ nämä vastaavat kolmea friisiryhmää. Tässä on käytetty Schönfliesin merkintää sekä Coxeterin symbolia hakasuluissa ja orbifoldimerkintää tavallisissa suluissa. Termiä horisontaalinen (h) käytetään, kun rotaatioakseli on pystysuora.

Kahdessa ulottuvuudessa symmetriaryhmä Dn sisältää peilauksia suorien suhteen. Kun kaksiulotteinen taso on asetettu vaakasuorasti kolmiulotteiseen avaruuteen, tällainen peilaus voidaan käsittää rajoittumaksi joko tämän tason peilauksesta pystysuoran tason suhteen tai 180°:n rotaatiosta peilaussuoran ympäri. Kolmessa ulottuvuudessa nämä ovat kaksi aivan eri operaatiota: ryhmä Dn sisältää vain rotaatiot, ei peilauksia. Saman kertaluvun pyramidaalinen symmetria Cnv muodostaa oman ryhmänsä.

Heijastussymmetrialla n-kertaisen rotaation akselia vastaan kohtisuoran tason suhteen saadaan Dnh [n], (*22n).

Säännöllisiä särmiöitä, joiden symmetriaryhmä on Dnh, missä n on pohjamonikulmion kulmien lukumäärä.

Dnh on säännöllisen n-kulmaisen särmiön ja myös säännöllisen n-sivuisen bipyramidin symmetriaryhmä. Dnd on säännöllisen n-sivuisen antiprisman ja Dn osittain kierretyn särmiön symmetriaryhmä.

Tässä edellytetään, että n on vähintään 2, sillä seuraavat ryhmät ovat samoja:

  • D1 ja C2 ovat sama kertaluvun 2 ryhmä, johon kuuluu vain 180°:n rotaatio
  • D1h ja C2v ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tässä tasossa olevan suoran ympäri
  • D1d ja C2h ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tasoon nähden kohtisuorassa olevan suoran ympäri

Tapauksessa n = 2 ei ole yhtä pääakselia ja kahta lisäakselia vaan kolme keskenään samankaltaista akselia.

  • D2 [2,2]+, (222) kertalukua 4 on yksi kolmesta symmetriaryhmätyypistä, jota vastaava abstrakti ryhmä on Kleinin neliryhmä. Sillä on kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia. Se on kuboidin symmetriaryhmä, kun siihen on merkitty S-kirjain kahdelle vastakkaiselle sivulle samoin päin suunnattuina.
  • D2h, [2,2], (*222) kertalukua 8 on kuboidin symmetriaryhmä.
  • D2d, [4,2+], (2*2) kertalukua 8 on muun muassa seuraavien kappaleiden symmetriaryhmä:
  • neliökuboidi, jonka yhteen neliömäiseen sivuun on piirretty lävistäjä ja toiseen sivuun sitä vastaan kohtisuora lävistäjä;
  • säännöllinen tetraedri, joka on venytetty kahden vastaakkaisen sivun keskipisteiden välisen janan suunnassa (D2d on tetraedrisen symmetrian Td aliryhmä); skaalauksella vähennetään symmetriaa.

Aliryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Order 2 dihedral symmetry subgroup tree.png
D2h, [2,2], (*222),
aliryhmien hierarkia
Order 4 dihedral symmetry subgroup tree.png
D4h, [4,2], (*224),
aliryhmien hierarkia

Ryhmällä Dnh, [n,2], (*22n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät:

  • Cnh, [n+,2], (n*), kertalukua 2n
  • Cnv, [n,1], (*nn), kertalukua 2n
  • Dn, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n

Ryhmällä Dnd, [2n,2+], (2*n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät:

  • S2n, [2n+,2+], (n×), kertalukua 2n
  • Cnv, [n+,2], (n*), kertalukua 2n
  • Dn, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n

Dnd on myös ryhmän D2nh aliryhmä.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

D2h, [2,2], (*222)
Kertaluku 8
D2d, [4,2+], (2*2)
Kertaluku 8
D3h, [3,2], (*223)
Kertaluku 12
Basketball.png
koripallon saumat
Baseball (crop).png
baseball-pallon saumat
(kun saumausten suuntia ei oteta huomioon)
BeachBall.jpg
rantapallo
(kun värejä ei oteta huomioon)

Dnh, [n], (*22n):

Geometricprisms.gif
särmiöitä

D5h, [5], (*225):

Pentagrammic prism.png
pentagrammipohjainen särmiö
Pentagrammic antiprism.png
pentagrammipohjainen antiprisma

D4d, [8,2+], (2*4):

Snub square antiprism.png
pullistettu neliöpohjainen antiprisma

D5d, [10,2+], (2*5):

Antiprism5.jpg
viisikulmainen antiprisma
Pentagrammic crossed antiprism.png
viisikulmainen risteävä antiprisma
Trapezohedron5.jpg
pentagonaalinen trapetsoedri

D17d, [34,2+], (2*17):

Antiprism17.jpg
17-kulmainen antiprisma
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Dihedral symmetry

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser: Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9.
  • N. W. Johnson: ”Chapter 11:5: Finite symmetry groups: Spherical Coxeter Groups”, Geometries and Transformations. {{{Julkaisija}}}, 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.
  • John Horton Conway, Dabiel H. Huson: The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 2002, 13. vsk, nro 3, s. 247–257. Springer Netherlands. doi:10.1023/A:1015851621002.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Symmetry: Solids (Kuvia eri tavoin diedrisesti symmetrisistä kappaleista) University of Exeter. Viitattu 15.7.2020.