Särmiö

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Uniformiset särmiöt
Uniformiset särmiöt
(Kuvassa kuusikulmainen särmiö)
Tyyppi Uniforminen monitahokas
Conwayn monitahokas-
merkintä
Pn
Tahkoja 2+n yhteensä:
2 {n}
n Neliö|{4}
Särmiä 3n
Kärkiä 2n
Schläflin symboli {n}×{}[1] tai t{2, n}
Coxeterin diagrammi CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png
Kärkikonfiguraatio 4.4.n
Symmetriaryhmä Dnh, [n,2], (*n22), kertaluku 4n
Rotaatioryhmä Dn, [n,2]+, (n22), kertaluku 2n
Duaalikappale Bipyramidit
Ominaisuuksia kupera, semiregulaarinen, särmätransitiivinen
Generalized prisim net.svg
n-kulmainen särmiöverkko (tässä n = 9)]]

Särmiö eli prisma[2] on geometriassa monitahokas, jonka tahkoina on kaksi keskenään yhtenevää monikulmiota, joiden vastaavat sivut ovat yhdensuuntaiset, sekä joukko suunnikkaita, jotka yhdistävät nämä monitahokkaat toisiinsa.[3] Näitä yhdensuuntaisia monitahokkaita sanotaan särmiön pohjiksi, niitä yhdistäviä suunnikkaan muotosia tahkoja särmiön sivutahkoiksi. Sivutahkot yhdessä muodostavat särmiön vaipan.[3] Särmiön kaikki leikkauspinnat pohjan kanssa yhdensuuntaisten tasojen kanssa ovat pohjien kanssa yhteneviä ja siitä yhdensuuntaissiirrolla muodostettavia. Särmiötä nimitetään sivutahkojen lukumäärän mukaan, joka on samalla pohjan sivujen lukumäärä.[2] Esimerkiksi särmiötä, jonka pohja on viisikulmio, sanotaan viisikulmaiseksi särmiöksi. Särmiöt muodostavat osajoukon prismatoideista.

Yleiset, suorat ja uniformiset särmiöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suora särmiö on särmiö jonka pohjia yhdistävät särmät ja tahkot ovat kohtisuorassa pohjatahkoja vastaan. Suoran särmiön muut tahkot paitsi mahdollisesti pohjat ovat suorakulmioita.[4] Suoraa särmiötä, jonka pohjat ovat säännöllisiä monikulmiota, sanotaan säännölliseksi särmiöksi.[3] Suoraa särmiötä, jonka pohjat ovat säännöllisiä p-kulmioita, voidaan merkitä Schläflin symbolilla { } × {p}.

Jos yhdistävät tahkot ja sivut eivät ole kohtisuorassa pohjiin nähden, särmiötä sanotaan vinoksi särmiöksi.

Särmiötä, jonka pohjakin on suunnikas, sanotaan suuntaissärmiöksi eli parallelepipediksi.[2]. Suuntaissärmiö on monitahokas, jonka kaikki kuusi tahkoa ovat suunnikkaita.

Särmiötä, jonka pohja on suorakulmio, sanotaan suorakulmaiseksi särmiöksi.[2] Sellaisen Schläflin symboli on { } × { } × { }. Jos pohja on neliö ja jos lisäksi pohjien välinen etäisyys on yhtä suuri kuin tämän neliön sivu, kyseessä on kuutio[2], joka kuuluu samalla myös säännöllisiin monitahokkaisiin.[5]

Nimitystä uniforminen tai semiregulaarinen särmiö käytetään sellaisista särmiöistä, joiden sivutahkot ovat neliöitä, sillä ne kuuluvat myös uniformisten monitahokkaiden joukkoon. Uniformisen p-kulmaisen särmiön Schläflin symboli on t{2,p}. Esimerkiksi kuutio on uniforminen 4-kulmainen särmiö. Suorat särmiöt, joilla on säännölliset pohjat ja yhtä pitkät särmät, muodostavat toisen kahdesta äärettömästä semiregulaaristen monitahokkaiden sarjasta; toisen tällaisen sarjan muodostavat antiprismat.

Katkaistu kolmikulmainen prisma, jonka ylin tahko on katkaistu vinossa kulmassa.

Suoran särmiön duaalikappale on bipyramidi.

Särmiöt voidaan käsittää myös lieriön alalajiksi, joissa pohja on monikulmio.[6] Särmiöt, joiden pohjana on säännöllinen n-kulmio, lähestyvät muodoltaan ympyräpohjaista lieriötä, kun n kasvaa rajatta.

Katkaistu särmiö on särmiötä muistuttava monitahokas, jonka pohjat kuitenkaan eivät ole yhdensuuntaisia.[7]

Tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Särmiön tilavuus on sen pohjan pinta-alan ja pohjien välisen etäisyyden eli särmiön korkeuden tulo. Jos särmiö ei ole suora, tässä tarkoitetaan kohtisuoraa etäisyyttä.

Särmiön tilavuus on siis[4]

missä B on sen pohjan pinta-ala ja h sen korkeus. Jos särmiön pohjana on säännöllinen n-kulmio, jonka sivun pituus on s, särmiön tilavuus on:

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Särmiön kaikkien tahkojen yhteenlaskettu pinta-ala on

missä B on sen pohjan pinta-ala, h sen korkeus ja P pohjan ympärysmitta.

Jos suoran särmiön pohjana on säännöllinen n-kulmio, jonka sivun pituus on s, ja särmiön korkeus on h, sen kaikkien tahkojen yhteenlaskettu pinta-ala on

Schlegelin diagrammit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Särmiöt, joiden pohjana on säännöllinen monikulmio, voidaan kuvata Schelgelin diagrammeina seuraavaan tapaan:

Triangular prismatic graph.png
P3
Cubical graph.png
P4
Pentagonal prismatic graph.png
P5
Hexagonal prismatic graph.png
P6
Heptagonal prismatic graph.png
P7
Octagonal prismatic graph.png
P8

Symmetria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sellaisen suoran särmiön symmetriaryhmä, jonka pohjana on n-sivuinen säännöllinen monikulmio, on kertaluvun 4n diedriryhmä Dnh. Poikkeuksena on kuutio, jolla on laajempi symmetriaryhmä, kertaluvun 48 oktaedrinen symmetriaryhmä Oh, johon sisältyy aliryhmänä kolme versiota ryhmästä D4h. Tällaisen särmiön rotaatioryhmä on Dn kertalukua 2n, paitsi kuutiolla, jolla on laajempi kertaluvun 24 symmetriaryhmä O ja sillä aliryhminä kolme versiota ryhmästä D4.

Peilaus särmiön keskipisteen suhteen kuuluu symmetriaryhmään Dnh, jos ja vain jos n on parillinen.

Prismaattiset polytoopit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Prismaattinen polytooppi on prisman eli särmiön korkeampiulotteinen yleistys. Prismaattinen n-polytooppi on n-ulotteinen polytooppi, joka muodostetaan kahdesta n - 1)-ulotteisesta polytoopista, jotka saadaan toisistaan yhdensuuntaissiirrolla seuraavassa ulottuvuudessa.

Prismaattisen n-polytoopin elementit saadaan kaksinkertaistamalla (n - 1)-polytoopin elementit ja luomalla uudet elementit lähinnä alemmasta elementistä.

Oletetaan n-polytooppi, jossa on on fi i-tahkoa (i = 0, ..., n). Siitä voidaan muodostaa prismaattinen (n + 1)-polytooppi, jossa on 2fi + fi-1 i-tahkoelementtiä. (Kun f-1 = 0, saadaan fn = 1.)

Eri ulottuvuuksissa:

  • Lähtemällä monikulmiosta, jossa on n kärkeä ja n sivua, voidaan konstruoida särmiö eli prismaattinen 3-polytooppi, jossa on 3n särmää ja 2 + n tahkoa.
  • Lähtemällä monitahokkaasta, jossa on v kärkeä, e särmää ja f tahkoa, voidaan konstruoida prismaattinen 4-polytooppi, jossa on 2v kärkeä, 2e + v särmää, 2f + e tahkoa ja 2 + f solua.
  • Lähtemällä polykoorista, jossa on v kärkeä, e särmää, f tahkoa ja c solua, voidaan konstruoida prismaattinen 5-polytooppi, jossa on 2v kärkeä, 2e + v särmää, 2f + e tahkoa, 2c + f solua ja 2 + c hypersolua.

Uniforminen prismaattinen polytooppi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Säännöllisestä n-polytoopista, jota esittää Schläflin symboli {p, q, ..., t}, voidaan muodostaa uniforminen prismaattinen (n + 1)-polytooppi, jota esittää kahden Schläflin symbolin karteesinen tulo: {p, q, ..., t}×{}.

Ulottuvuuksittain:

  • 0-polytooppinen särmiö on jana, jota esittää tyhjä Schläflin symboli {}.
    • Complete graph K2.svg
  • 1-polytooppinen särmiö on suorakulmio, joka muodostetaan yhdensuuntaissiirrolla kahdesta janasta. Se voidaan esittää Schläflin symbolilla {}×{}. Jos se on neliö, sen symmetria voidaan esittää myös muodossa {}×{} = {4}.
    • Esimerkki: neliö, {}×{}, kaksi yhdensuuntaista janaa, joita yhdistää toisiinsa toiset kaksi yhdensuuntaista janaa
  • Polygonaalinen särmiö on 3-ulotteinen särmiö, joka saadaan kahdesta yhdensuuntaissiirrolla toisilleen kuvattavasta monikulmiosta joita yhdistävät suorakulmiot. Säännöllisestä monikulmiosta {p} voidaan konstruoida uniforminen n-kulmainen särmiö, jota esittää tulo {p}×{}. Jos p = 4, tuloksena saadaan kuutio: {4}×{} = {4, 3}.
    • Esimerkki: viisikulmainen (pentagonaalinen) prisma, {5}×{}, saadaan yhdistämällä kaksi yhdensuuntaista viisikulmiota viidellä yhdensuuntaisella sivutahkolla.
  • Polyedraalinen särmiö on 4-ulotteinen prismaattinen polytooppi, joka saadaan kahdesta yhdensuuntaisesta särmiöstä yhdistämällä ne kolmiulotteisilla särmiösoluilla. Säännöllisestä monitahokkaasta {pq} voidaan konstruoida uniforminen polykoorinen prisma, jonka Schläflin symboli on {pq}×{}. Jos sekä lähtökohtana oleva monitahokas että sivuina olevat monitahokkaat ovat kuutioita, tuloksena saadaan tesserakti: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
    • Esimerkki: Dodekaedraalinen särmiö, {5, 3}×{}, kaksi yhdensuuntaista dodekaedria, joita yhdistää 12 viisikulmaista särmiötä sivuina.
  • ...

Korkeamman kertaluvun prismaattisia polytooppeja saadaan myös minkä tahansa kahden polytoopin karteesisina tuloina. Polytoopin ulottuvuus on sen elementtien ulottuvuuksien tulo. Ensimmäisinä esimerkkeinä näistä ovat 4-ulotteisen avaruuden duoprismat, jotka saadaan kahden monikulmion karteesisina tuloina. Säännöllisiä duoprismoja esittävät Shcläflin symbolit ovat muotoa {p}×{q}.

Uniformiset särmiöt
Monitahokas Yellow square.gif Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png
Coxeter CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Laatoitus Tetragonal dihedron.png Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png
Särmäkonfiguraatio. 2.4.4 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4

Väännetty särmiö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Väännetty särmiö (engl. Twisted prism) on ei-kupera särmiötä muistuttava monikulmio, joka voidaan konstruoida uniformisesta q-särmiöstä katkaisemalla sen sivutahkot neliön lävistäjillä ja kiertämällä ylempää pohjaa, tavallisesti radiaania ( astetta) samaan suuntaan, niin että sivukolmioista tulee koveria.[8][9]

Väännettyä särmiötä ei voi jakaa tetraedreiksi lisäämättä siihen uusia kärkiä. Pienintä tapauksta, jossa pohjat ovat kolmiota, sanotaan Schönhardtin monitahokkaaksi.

Väännetty prisma on topologisesti antiprisman kaltainen, mutta sillä on vain puolet antiprisman symmetriasta: Dn, [n,2]+, kertalukua 2n. Sitä voidaan pitää kuperana antiprismana, josta on poistettu kolmioparien väliset tetraedrit.

3-kulmainen 4-kulmainen 12-kulmainen
Schönhardt polyhedron.svg
Schönhardtin monitahokas
SquareAntiprism.png
Väännetty neliösärmiö
Square antiprism.png
Neliön antiprisma
Twisted dodecagonal antiprism.png
Väännetty 12-kulmainen antiprisma

Katkaistut pyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viisikulmainen katkaistu pyramidi

Katkaistut pyramidit ovat topologisesti täysin särmiöiden kaltaisia eli niiden kanssa homeomorfisia, mutta niiden sivutahkot ovat puolisuunnikkaita ja pohjat yhdenmuotoisia mutta eri kokoisia monikulmioita. Symbol oppose vote.svg

Tähtisärmiöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tähtisärmiö on ei-kupera monitahokas, jonka konstruoidaan asettamalla pohjiksi kaksi keskenään yhtenevää ja yhdensuuntaista tähtimonikulmiota, jotka ovat avaruudessa tietyllä etäisyydellä toisistaan. Uniformisen tähtimonikulmion Schläflin symboli on {p/q} × { }, kun sillä on sivutahkoina p suorakulmiota sekä kaksi tähtimonikulmion muotoista tahkoa, joiden Schläflin symboli on {p/q}. Se on topologisesti p-kulmaisen särmiön kaltainen.

Esimerkkejä
{ }×{ }180×{ } ta{3}×{ } {5/2}×{ } {7/2}×{ } {7/3}×{ } {8/3}×{ }
D2h, order 8 D3h, order 12 D5h, order 20 D7h, order 28 D8h, order 32
Crossed-square prism.png Crossed hexagonal prism.png Crossed-unequal hexagonal prism.png Pentagrammic prism.png Heptagrammic prism 7-2.png Heptagrammic prism 7-3.png Prism 8-3.png
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Prism (geometry)

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Anthony Pugh: ”Archimedean polyhedra, prisma ana antiprisms”, Polyhedra: A visual approach. University of California Press Berkeley, 1976. ISBN 0-520-03056-7.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Norman Johnson: ”Finite symmetry groups: Pyramids, Prisms and Antiprisms, kuva 11.3b”, Geometries and Transformations. Cambridge University Press Vuosi = 2018. ISBN 978-1-107-10340-5. Teoksen verkkoversio.
  2. a b c d e Kalle Väisälä: ”Tärkeimmät kappaleet ja niiden tilavuudet ja pinta-alat”, Geometria, s. 61. WSOY, 1959. Teoksen verkkoversio.
  3. a b c ”Särmiö”, Otavan iso Fokus, 7. osa (Sv–Öö), s. 4146. Otava, 1974. ISBN 951-1-01521-4.
  4. a b Prism Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 15.11.2018.
  5. Kalle Väisälä: ”Säännölliset monitahokkaat”, Geometria, s. 157. WSOY, 1959. Teoksen verkkoversio.
  6. Esko Ranta, Salme-Laura Leikkonen: ”Lieriöt ja särmiöt”, Geometria, s. 123. WSOY, 1971.
  7. William F. Kern, James R. Bland: Solid Mensuration with proofs, s. 81. {{{Julkaisija}}}, 1938.
  8. Catherine A. Gorini: The facts on file: Geometry handbook, s. 172. Checkmark Books, 2003. ISBN 0-8160-4875-4.
  9. ms Pictures of Twisted Prisms Gijs Korhals Altes. Viitattu 15.11.2018.