Aliryhmä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmän alkioiden ei-tyhjä osajoukko muodostaa aliryhmän, mikäli

  • kaikilla ja
  • kaikilla

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon ryhmän alkioiden osajoukko. Tällöin joukko on ryhmän aliryhmä, mikäli

  • joukon binäärinen operaatio , joka saadaan asettamalla kaikilla on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
  • pari on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot ja ovat aina ryhmän aliryhmiä. Aliryhmää kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli ja , niin aliryhmää sanotan aidoksi ja merkitään

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon seuraavassa ja

  • Ryhmän neutraalialkio on myös aliryhmän neutraalialkio.
  • Alkion käänteisalkio ryhmässä on myös sen käänteisalkio aliryhmässä
  • Tulo jos ja vain jos Vastaavasti jos ja vain jos
  • Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos , niin
jos ja vain jos tai
  • Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos on mielivaltainen indeksijoukko, jolla kaikilla , niin tällöin leikkaus
  • Jos , niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän aliryhmä, joka sisältää joukon . Tämä aliryhmä on
ja sitä kutsutaan joukon generoimaksi aliryhmäksi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.