Säännöllinen monikulmio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Säännöllinen monikulmio on geometriassa konveksi monikulmio, joka on samalla sekä syklinen monikulmio että tangentiaalinen monikulmio, ja jolla on erityisesti kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Säännöllinen monikulmio on siis tasasivuinen ja tasakulmainen monikulmio. Säännöllisestä muodosta johtuen sillä on olemassa useita symmetria-akseleita ja keskipiste. Säännöllisten monikulmioiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.[1]

Säännöllisiä monikulmioita ovat esimerkiksi seuraavat monikulmiot:

Nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Apoteema eli pikkusäde ri, isosäde ru, sivun pituus a, sisäkulma 120o sekä keskuskulma 60o ja sen keskuskolmio.

Monikulmioita nimitetään lukusanan avulla esimerkiksi viisikulmioksi. Yleistäen, jos monikulmiossa on n kulmaa, sitä voidaan kutsua n-kulmioksi. Tällaisella säännöllisellä monikulmiolla on siten n kulmaa, kärkeä ja sivua. Kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan saman suuruisia, joten monikulmio on tasakulmainen, ja kaikki sivut ovat saman pituisia, joten se on myös tasasivuinen.[2]

Säännöllinen monikulmio voidaan ajatella säännölliseksi sykliseksi monikulmioksi, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä säännöllisin välein. Ympyrää kutsutaan monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin ulkoympyräksi. Ulkoympyrän keskipiste on samalla monikulmion symmetriapiste, jota voidaan kutsua myös monikulmion keskipisteeksi. Monikulmion kärjet sijaitsevat ison säteen R etäisyydellä keskipisteestä ja säteillä voidaan jakaa monikulmio tasakylkisiin kolmioihin, joita on yhtä monta kuin sivujakin. Kolmioita nimitetään keskuskolmioiksi. Keskipisteen ja sivun välistä etäisyyttä kutsutaan apoteemaksi eli sisään piirretyn monikulmion sivun etäisyydeksi.[3][4][5]

Säännöllinen monikulmio voidaan myös ajatella säännölliseksi tangentiaaliseksi monikulmioksi, jonka sivut sivuavat tangentteina monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Tätä ympyrää voidaan kutsua monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin sisäympyräksi. Sisäympyrän sädettä r kutsutaan pieneksi säteeksi ja sen arvo on samaa kuin edellä mainitulla apoteemalla.[5]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Säännölliset monikulmiot perivät kaikki yleisen monikulmion ominaisuudet. Niillä on säännöllisyydestä johtuen paljon erityisiä ominaisuuksia:

  • Säännöllisen monikulmion ympäri ja sisälle voidaan aina piirtää edellä kuvatulla tavalla ympyrät.[6][5]
  • Jos annetaan kulmien lukumäärä ja piirin pituus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on suurin pinta-ala.
  • Jos annetaan kulmien lukumäärä ja pinta-alan suuruus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on lyhin piiri.
  • Jos säännöllisen monikulmion sisältä valitaan mielivaltaisesti sisäpiste, niin sisäpisteestä sivuille piirrettyjen kohtisuorien yhteispituus on sama kuin "apoteema kertaa n".[2]

Seuraavissa kaavojen suureet tarkoittavat: s on sivun pituus, a on apoteema, p on piiri, A on ala, n on kulmien lukumäärä, \alpha on sisäkulman suuruus.

Kulmat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sivunpituus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sivun pituus voidaan määrittää trigonometristen funktioiden avulla.

Sivun pituus lasketaan: s = 2r \tan{\frac{180^\circ}{n}} = 2R \sin{\frac{180^\circ}{n}} = \sqrt \frac {4 A \tan{\frac{180^\circ}{n}}}{n}[2]

Tietyillä kulmilla sivun pituus voidaan määrittää tarkastikin:

Sisä- ja ulkoympyrän säde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kummallekin ympyrälle on omat trigonometriset kaavansa:

  • Sisäympyrän säde: r = \tfrac{1}{2} s \cot{\frac{180^\circ}{n}} = R \cos{\frac{180^\circ}{n}} [2]
  • Ulkoympyrän säde: R = \tfrac{1}{2} s \csc{\frac{180^\circ}{n}} = r \sec{\frac{180^\circ}{n}} [2]

Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan säde ilmoitta tarkastikin:

  • tasasivuinen kolmio: r = \frac{s\sqrt{3}}{6} ja R = \frac{s\sqrt{3}}{3} [10]
  • neliö: r = \frac{s}{2} ja R = \frac{s\sqrt{2}}{2} [10]
  • säännöllinen viisikulmio: r = \frac{s}{10} \sqrt{25+10\sqrt{5}} ja R = \frac{s}{10} \sqrt{50+10\sqrt{5}} [10]
  • säännöllinen kuusikulmio: r = \frac{s\sqrt{3}}{2} ja R = s [10]

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pinta-ala voidaan ilmaista monella eri tavalla. Yksinkertainen geometrinen tapa on kertoa puolipiiri apoteemalla

A = \frac{p a}{2} = \frac{n s a}{2}. [4]

Toisaalta se voidaan laskea trigonometriseti:

A = \tfrac{1}{4} n s^2 \cot{\frac{180^\circ}{n}} = n r^2 \tan{\frac{180^\circ}{n}} = \tfrac{1}{2} n R^2 \sin{\frac{360^\circ}{n}}.[2]

Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan pinta-ala ilmoitta tarkastikin:

  • tasasivuinen kolmio: A = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4} [10]
  • neliö: A = s^2 [10]
  • säännöllinen viisikulmio: A = \frac{s^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} [10]
  • säännöllinen kuusikulmio: A = \frac{3s^2 \sqrt{3}}{2} [10]

Konstruktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometriassa on antiikin ajoista lähtien yritetty konstruoida säännöllisiä monikulmioita pelkästään harppia ja viivainta käyttämällä. Jo se kysymys, onko se ylipäätään mahdollista, on ollut vaikea kysymys vastattavaksi. Saksalainen Carl Gauss todisti, että sellaiset säännölliset n-kulmiot ovat konstruoitavissa, jossa n = 2^p (jossa p \ge 2), tai n = 2^p(2^{2^k}+1) (jossa p \ge 0, \, k \ge 0, \, ja \, 2^{2^k}+1 on alkuluku). Ensimmäisen säännön mukaan konstruoitavia n-kulmioita ovat 4-, 8-, 16-, 32-, ... ja niin edelleen. Toisen säännön mukaan näiden lisäksi voidaan konstruoida vielä 3-, 12-, 24-, ... sekä 5-, 20-, 40-, ... sekä 17-, 34-, 68-, ... sekä 257- ja 65537-kulmioita ja niin edelleen.[11][9][12][13][2]

Historiaa: Piin määritys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Arkhimedeen tapa laskea piin arvo käyttämällä säännöllisiä monikulmioita ympyrän sisä- ja ulkopuolella. Kun kulmien lukuäärää kasvatettiin, saatiin monikulmioiden piirin pituuksiksi arvoja, joiden välissä 2πr tuli olla.
N-kulmioiden kulmia lisättiin puolittamalla edellisen laskun monikulmion keskuskulmaa. Lähtien 4-kulmiosta liikkeelle jatkettiin 8-, 16-, 32- ja 64-kulmiolla. Samaa tehtiin tahdissa ympyrää ympäröivälle n-kulmiolle.

Antiikin suuren ajattelijan Arkhimedeen on liitetty piina arvon laskeminen. Hän piirsi ympyrän ympärille ja sisäpuolelle nkulmiot, joiden piirin pituudet hän laski. Ulkopuolen piirin pituus oli luonnollisesti pitempi kuin ympyrän kehän pituus, ja sisäpuolisen n-kulmion piiri sitä pienempi. Piin likiarvoiksi saatiin tällä menetelmällä piin ylä- ja alarajan keskiarvo. Kun kulmien lukumäärää n suurennettiin puolittamalla edellisen kuvion kulmia, tarkentui piin likiarvo. Piin määrittämiseksi on keskitty lukuisia muitakin menetelmiä, joten tällä menetelmällä on enää lähinnä historiallinen arvo.[1][3]

Vertailutaulukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

n: Kulmaluku
\varphi: Sivua vastaava keskuskulma
a: Sivunpituus
R: Ulkoympyrän säde
r: Sisäympyrän säde
\beta: Sisäkulma
A: Pinta-ala
n Nimitys \varphi \frac{a}{R} \frac{r}{R} \beta \frac{A}{R^2} Kuvio
2 Jana 180° 2,0000 0,0000 0 0,0000 Polygon-002.svg
3 Kolmio 120° 1,7321 0,5000 60 1,2990 Polygon-003.svg
4 Nelikulmio 90° 1,4142 0,7071 90 2,0000 Polygon-004.svg
5 Viisikulmio 72° 1,1756 0,8090 108 2,3776 Polygon-005.svg
6 Kuusikulmio 60° 1,0000 0,8660 120 2,5981 Polygon-006.svg
7 Seitsemänkulmio 51,43° 0,8678 0,9010 128,57 2,7364 Polygon-007.svg
8 Kahdeksankulmio 45° 0,7654 0,9239 135 2,8284 Polygon-008.svg
9 Yhdeksänkulmio 40° 0,6840 0,9397 140 2,8925 Polygon-009.svg
10 Kymmenenkulmio 36° 0,6180 0,9511 144 2,9389 Polygon-010.svg
11 11-kulmio 32,73° 0,5635 0,9595 147,27 2,9735 Polygon-011.svg
12 12-kulmio 30° 0,5176 0,9659 150 3,0000 Polygon-012.svg
13 13-kulmio 27,69° 0,4786 0,9709 152,31 3,0207 Polygon-013.svg
14 14-kulmio 25,71° 0,4450 0,9749 154,29 3,0372 Polygon-014.svg
15 15-kulmio 24° 0,4158 0,9781 156 3,0505 Polygon-015.svg
16 16-kulmio 22,5° 0,3902 0,9808 157,5 3,0615 Polygon-016.svg
17 17-kulmio 21,18° 0,3675 0,9830 158,82 3,0706 Polygon-017.svg
18 18-kulmio 20° 0,3473 0,9848 160 3,0782 Polygon-018.svg
19 19-kulmio 18,95° 0,3292 0,9864 161,05 3,0846 Polygon-019.svg
20 20-kulmio 18° 0,3129 0,9877 162 3,0902 Polygon-020.svg
21 21-kulmio 17,14° 0,2981 0,9888 162,86 3,0949 Polygon-021.svg
22 22-kulmio 16,36° 0,2846 0,9898 163,64 3,0991 Polygon-022.svg
23 23-kulmio 15,65° 0,2723 0,9907 164,35 3,1027 Polygon-023.svg
24 24-kulmio 15° 0,2611 0,9914 165 3,1058 Polygon-024.svg
25 25-kulmio 14,4° 0,2507 0,9921 165,6 3,1086 Polygon-025.svg
26 26-kulmio 13,85° 0,2411 0,9927 166,15 3,1111 Polygon-026.svg
27 27-kulmio 13,33° 0,2322 0,9932 166,67 3,1133 Polygon-027.svg
28 28-kulmio 12,86° 0,2239 0,9937 167,14 3,1153 Polygon-028.svg
29 29-kulmio 12,41° 0,2162 0,9941 167,59 3,1171 Polygon-029.svg
30 30-kulmio 12° 0,2091 0,9945 168 3,1187 Polygon-030.svg

Lähde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Royster, David: The Origins of Geometry, 2011, s.1-9
  2. a b c d e f g h Weisstein, Eric W.: Regular Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s.57
  4. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.41-48
  5. a b c Väisälä, Kalle: Geometria, s.91-96
  6. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s.8
  7. Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers s. 15
  8. a b c Väisälä, Kalle: Geometria, s.125-130
  9. a b c d Yiu, P.: Euclidean Geometry, 1998, s.8-12
  10. a b c d e f g h Seppänen, Raimo et al.: MAOL-taulukot, s. 31. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.
  11. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s.43
  12. Yiu, P.: Euclidean Geometry, 1998, s.83-86
  13. Väisälä, Kalle: Geometria, s.43

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]