Syklinen monikulmio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Syklinen kahdeksankulmio, joka on konkaavi monikulmio.
Konsyklisistä pisteistä voidaan helposti piirtää ympyrän keskipisteen paikka.
Syklinen kuusikulmio, joka on kompleksinen.

Syklinen monikulmio eli ympyrän sisään piirretty monikumio on geometriassa monikulmio, jonka kaikki kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Tällöin voidaan sanoa, että kärkipisteet ovat konsykliset ja että monikulmio on syklinen.[1]

Ympyrää, jonka sisään on piirretty monikulmio, voidaan kutsua ulkoympyräksi eli monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi. Monikulmion sivuja kutsutaan silloin myös jänteiksi. Kärkien välille piirrettyjä janoja sanotaan monikulmion lävistäjiksi.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kahden monikulmion kärjen välille voidaan piirtää keskinormaali ja se kulkee aina ulkoympyrän keskipisteen kautta.
  • Syklisen monikulmion ulkoympyrän säde ja ympyrän yhtälöt voidaan laskea vain erityisissä tapauksissa sivujen tai lävistäjien pituuksien avulla. Helposti se onnistuu kolmioilla ja nelikulmioilla, mutta myös säännöllisillä monikulmioilla.[2]
  • Jos annetusta janoista voidaan muodostaa monikulmio, on sen pinta-ala suurin silloin, kun sen kärkipisteet ovat konsykliset.[3]
  • Syklisten nelikulmioiden sivujen ja lävistäjien pituudet toteuttavat Ptolemaioksen lauseen ja kuusikulmion vastaavasti Fuhrmannin lauseen.[2]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaikka syklisten monikulmioiden idea on tunnettu jo pitkään, eivät matemaatikot ole saaneet niihin kunnollista otetta. Kolmion universaali syklisyys tunnettiin jo antiikin kreikassa ja syklisen nelikulmion ominaisuudetkin melko varhain. Silti jälkipolvet tuntevat vain kaksi syklisen monikulmion pinta-alan lauseketta: kolmiolle sen esitteli Heron ja nelikulmiolle Brahmagupta. Ongelma on osoittautunut hankalaksi, sillä moni on yrittänyt laskea ulkoympyrän säteen tai monikulmion pinta-alan, kun alkutietoina on annettu vain sivujen pituudet. Yleisesti tässä on onnistuttu vain tasasivuisissa tai tasakulmaisissa erikoistapauksissa. Nykyään käytettävät polynomien ominaisuuksia hyödyntävät menetelmät olisivat olleet muinaisille matemaatikoille liian vaativia, sillä sitä ne ovat myös nykymatemaatikoille. Möbius tarttui aiheeseen (vuonna 1828), mutta ei ratkaissut silloin ongelmaa. 1990-luvulla David Robbins käytti laajoja yhtälöryhmiä, joiden yhtälöissä oli runsaasti ratkaistavia muuttujia (viisikulmioissa 70, kuusikulmioissa 134 ja seitsemänkulmioissa 143 307 tuntematonta). Hänkään ei ratkaissut säteen tai pinta-alan lausekkeita eksplisiittisesti.[4]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Weisstein, Eric W.: Cyclic Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b Guo, Ren & Sönmez, Nilgün: Cyclic Polygons in Classical Geometry, paperi
  3. Suurin ala: Polygon area
  4. Svrtan, Dragutin: On Circumradius Equations of Cyclic Polygons, 2009

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]