Seitsentoistakulmio

Säännöllinen seitsentoistakulmio

Seitsentoistakulmio, 17-kulmio eli heptadekagoni on geometriassa 17-sivuinen monikulmio.

Säännöllinen 17-kulmio

Säännölliselle 17-kulmiolle käytetään Schläflin symbolia {17}. Sen sivujen väliset kulmat ovat 158 14/17 °. Ympyrän sisään piirretyn säännöllisen 17-kulmion kutakin sivua vastaava keskuskulma on 360/17 ° = 21 3/17 °.

Konstruointi

Koska luku 17 on Fermat’n alkuluku, säännöllinen 17-kulmio voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella. Tämän osoitti Carl Friedrich Gauss 19-vuotiaana vuonna 1796. Tämä todistus oli ensimmäinen edistysaskel, joka monikulmioiden konstruoinnissa oli otettu yli 2 000 vuoteen. Gaussin todistus perustuu siihen, että n-kulmion konstruointi harpilla ja viivoittimella on mahdollista, jos ja vain jos sen kulmien tri­gono­metriset funktiot voidaan esittää lausekkeena, jossa on vain kokonaislukuja, aritmeettisia lasku­toimituksia ja neliöjuuria. Gauss osoitti, että säännöllisille moni­kulmioille tämä on mahdollista, jos sivujen lukumäärän kaikki parittomat alkutekijät ovat toisistaan poikkeavia Fermat’n alkulukuja, jotka voidaan esittää muodossa $\scriptstyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$, missä n on ei-negatiivinen kokonais­luku. Säännöllisen 17-kulmion konstruointi edellyttää siis, että kulman $2\pi /17$ kosini voidaan esittää neliöjuurten avulla. Tarkan arvon johtaminen tälle kosinille edellyttää itse asiassa 17. asteen polynomiyhtälön ratkaisemista, mikä vain erikois­tapauksissa on mahdollista algebrallisesti. Gauss kuitenkin osoitti teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae, että

${\begin{aligned}16\,\cos {\frac {2\pi }{17}}=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\\=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}.\end{aligned}}$

Tästä voidaan johtaa algebralliset lausekkeet myös kulman ${\frac {\pi }{17}}$ trigonometrisille funktioille.

Jo Eukleides tiesi, miten voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella tasasivuinen kolmio, säännöllinen viisikulmio, säännöllinen 15-kulmio sekä sellaiset säännölliset monikulmiot, joiden sivujen lukumäärä on kahden potenssi taikka jokin luvuista 3, 5 tai 15 kerrottuna jollakin kahden potenssilla. Nämä olivatkin Gaussin aikaan saakka ainoat säännölliset monikulmiot, joille tällainen keino tunnettiin. Nykyisin sen tiedetään olevan mahdollista myös, kun sivujen lukumäärä on jokin Fermat’n alkuluku, toisin sanoen muotoa $2^{2^{n}}+1$ oleva alkuluku. Ainoat tunnetut Fermat’n alkuluvut ovat F_n, missä n = 0, 1, 2, 3 tai 4, eli luvut 3, 5, 17, 257 tai 65537.

Säännöllinen 17-kulmio voidaan konstruoida harpin ja viivoittimen avulla useammallakin tavalla. Ne edellyttävät, että ensin ympyrään saadaan piirretyksi keskuskulma, joka on 1/17 täydestä kulmasta, siis 360°/17, tai ympyrän kaari, joka on 1/17 ympyrän kehästä. Kun 17-kulmio voidaan konstruoida, sen avulla voidaan konstruoida myös n-kulmiot, missä n on 17 kerrottuna 3:lla, 5:llä tai molemmilla taikka millä tahansa 2:n potenssilla, siis esimerkiksi säännölliset 51-, 85- ja 255-kulmiot.

Gauss todisti vain, että säännöllisen 17-kulmion konstruointi harpilla ja viivoittimella on mahdollista, mutta hän ei esittänyt keinoa, jolla se voitiin suorittaa. Ensimmäisen tällaisen menetelmän esitti Erchinger noin vuonna 1800. Seuraavassa esitellään kolme myöhemmin kehitettyä, hieman yksinkertaisempaa menetelmää.

Stowellin menetelmä

T. P. Stowell esitti vuonna 1874 säännöllisen 17-kulmion piirtämiseksi harpilla ja viivoittimella seuraavan konstruktion, jonka julkaisi J. E. Hendricks The Analyst -aikakauskirjassa vastauksena Mr. Healille. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on O ja halkaisija AB. Piirretään keskipisteen kautta halkaisijalle AB kohtisuorassa oleva säde OC, ja valitaan siitä piste Q, joka on yhtä etäällä O:sta ja C:stä. Valitaan säteeltä OB piste D, jonka etäisyys keskipisteestä O on kahdeksasosa ympyrän säteestä. Merkitään halkaisijalle AB pisteet E ja F, jotka ovat samalla etäisyydellä D:stä kuin Q, ja valitaan säteeltä OC piste K siten, että OK on OH:n ja OQ:n keskiverto. Piirretään K:n kautta jana joka on yhdensuuntainen AB:n kanssa. Se leikkaa A:n ja O:n kautta kulkevan ympyrän pisteessä M. Piirretään M:n kautta OC:n suuntainen jana MN, joka leikkaa alkuperäisen ympyrän pisteessä N. Tällöin A:n ja N:n välinen kaari on seitsemästoistaosa koko ympyrän kehästä.

T. P. Stowellin konstruktio säännöllisen 17-kulmion piirtämiseksi.

Stowellin konstruktio animaationa.

Richmondin menetelmä

Seuraavan yksinkertaisemman menetelmän esitti Herbert William Richmond vuonna 1893:

Piirretään ympyrään kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa sädettä, OA ja OB, ja jatketaan sädettä OA niin, että siitä muodostuu ympyrän halkaisija. Valitaan janalta OB piste I siten, että janan OI pituus on neljäsosa ympyrän säteestä, ja muodostetaan kulma OIE, joka on neljäsosa kulmasta OIA. Piirretään 45 asteen kulma, jonka kärki on I ja toinen sivu IE; toinen sivu leikkaa halkaisijan OA pisteessä F. Piiretään ympyrä, jonka halkaisijana on jana AF, ja merkitään sen ja janan OB leikkauspistettä K:lla. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on E ja säde EK. Se leikkaa säteen OA pisteessä N₃ ja sen jatkeen pisteen O toisella puolella pisteessä N₅. Piirretään näiden pisteiden kautta OB:n suuntaiset janat, jotka leikkaavat alkuperäisen ympyrän pisteissä P₃ ja P₅. Tällöin kaaret AP₃ ja AP₅ ovat 3/17 ja 5/17 ympyrän kehästä.

H. W. Richmondin konstruktio säännöllisen 17-kulmion piirtämiseksi.

H. W. Richmondin konstruktio animaationa

.

DeTemplen menetelmä

Seuraava animaatio kuvaa Duane W. DeTemplen vuonna 1991 esittämää menetelmää säännöllisen 17-kulmion konstruoimiseksi Carlylen ympyröiden avulla.

Duane W. DeTemplen esittämä konstruktio Carlylen ympyröiden avulla, 1 min 57 s kestävä animaatio

Symmetria

Säännöllisen 17-kulmion symmetriat. Kärjet on merkitty punaisilla pisteillä. Symmetria-akselit, siniset viivat, kulkevat kukin yhden kärjen ja vastakkaisen sivun keskipisteen kautta.

Säännöllisellä 17-kulmiolla on kertaluvun 34 diedrinen symmetria. Koska 17 on alkuluku, diedrisellä symmetrialla on yksi aliryhmä, Dih₁, jolla on diedrinen symmetria, ja kaksi syklisen ryhmän mukaista symmetriaa: Z₁₇ ja Z₁.

Näitä neljää symmetriaa voidaan pitää 17-kulmion neljänä erillisenä symmetriaa. John Horton Conwayn mukaan niitä merkitään kirjaimella ja ryhmän järjestysluvulla. Tämän säännöllisen muodon kokonaissymmetria on r34, joka vastaa sen kaikkien symmetriaoperaatioiden muodostamaa ryhmää. Tämän ryhmän aliryhmistä suppein on a1, joka käsittää vain identtisen operaation. Diedriset symmetriat jakautuvat sen mukaan, kulkeeko symmetria-akseli kärkien (d lävistäjille), sivujen keskipisteiden (p kohtisuorille) vai molempien kautta (i). Syklisiä symmetrioita merkitään g:llä.

Jokainen aliryhmäsymmetria sallii yhden tai muun vapausasteen epäsäännöllisille muodoille. Vain aliryhmällä g17 ei ole vapausasteita, mutta sitä voidaan katsoa muodostuvan suunnatuista särmistä.

17-kulmioon liittyviä monikulmioita

Heptadekagrammit

Heptadekagrammi on 17-sivuinen tähtimonikulmio. Säännöllisiä heptadekagrammeja on seitsemän erilaista, joiden Schläflin symbolit ovat {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} ja {17/8}. Koska 17 on alkuluku, nämä kaikki ovat säännöllisiä tähtikulmioita, eivät yhdistettyjä kuvioita.

Kuva	{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}
Sivujen välinen kulma	˜137.647°	˜116.471°	˜95.2941°	˜74.1176°	˜52.9412°	˜31.7647°	˜10.5882°

Petrien monikulmiot

Säännöllinen 17-kulmio on erään useampiulotteisen säännöllisen kuperan polytoopin Petrien monikulmio, joka saadaan projisoimalla se viistolla ortogonaalisella projektiolla.

16-simpleksi (16D)