Alkuluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
12 esinettä voidaan asettaa kolmeen yhtä suureen pinoon, joten luku 12 ei ole alkuluku. 11 esineellä tämä ei ole mahdollista millään pinojen määrällä, joten luku 11 on alkuluku.

Alkuluku on lukua 1 suurempi luonnollinen luku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Alkulukuja on ääretön määrä. Lukua 1 suurempaa kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, sanotaan yhdistetyksi luvuksi. Lukua 1 ei lueta alkuluvuksi, vaikka se onkin jaoton luku, jotta alkulukuja koskevien matemaattisten lauseiden muotoilu olisi yksinkertaisempaa. Alkulukujen laskemiseksi on olemassa useita algoritmeja. Yksi yksinkertaisimmista algoritmeista on Eratostheneen seula, joskin se on työläs ja hidas suurten alkulukujen etsimiseen.

Kaksi lukua ovat alkulukuja toistensa suhteen eli keskenään jaottomia, jos niillä ei ole ykköstä suurempia yhteisiä tekijöitä.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1600-luvulla elänyt ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat tarkasteli ensimmäisiä lukuja epänegatiivisten kokonaislukujen
n (0, 1, 2, 3, 4, ...) funktiossa

2^{2^n} + 1

ja päätteli virheellisesti, että kaikki näin saadut luvut (3, 5, 17, 257, 65537, ...) olisivat alkulukuja.[1]

Luonnolliset luvut tulona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen luonnollinen luku paitsi 1 voidaan jakaa alkulukutekijöihin eli kirjoittaa alkulukujen tulona. Voidaan osoittaa, että tämä tekijöihinjako on yksikäsitteinen lukuun ottamatta tekijöiden järjestystä (aritmetiikan peruslause). Voidaan esimerkiksi kirjoittaa

23 \, 244 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 149.

Tekijöihinjakoa, jossa alkulukutekijät ovat suuruusjärjestyksessä, kutsutaan kanoniseksi alkulukuhajotelmaksi.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jos p on alkuluku, niin (p-1)!\equiv-1 \pmod{p}. (Wilsonin lause)
  • Mikäli a ja d ovat keskenään jaottomia, niin on olemassa äärettömän monta alkulukua muotoa a+nd, missä n on luonnollinen luku.
  • Mikäli p on alkuluku ja a on kokonaisluku, niin a^p-a on jaollinen luvulla p. (Fermat'n pieni lause)
  • Jokaiselle alkuluvulle p>2 on olemassa luonnollinen luku n siten että p=4n \pm 1
  • Jokaiselle alkuluvulle p>3 on olemassa luonnollinen luku n siten että p=6n \pm 1

Määrän äärettömyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eukleides antoi vanhimman tunnetun todistuksen alkulukujen määrän äärettömyydelle. Todistus on lyhyesti seuraava:

Ota äärellinen joukko perättäisiä alkulukuja. Kerro ne kaikki keskenään ja lisää yksi. Tulos ei ole jaollinen valitun joukon alkuluvuilla, koska jakojäännökseksi jää tällöin yksi. Niinpä sen täytyy olla joko uusi alkuluku tai jaollinen alkuluvulla, joka ei kuulunut valittuun joukkoon.

Alkuluvuille on olemassa laskufunktio \pi (n). Merkintä \pi (n) tarkoittaa lukua n pienempien alkulukujen määrää. Alkulukujen tiheys on laskeva.

n \pi (n)
10 4
10^2 25
10^3 168
10^4 1 229
10^5 9 592
10^6 78 498
10^7 664 579
10^8 5 761 455

Alkulukulause antaa asymptoottisen arvion \pi (n)-funktion käyttäytymiselle. Sen nojalla

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}

Tämä merkintä ei tarkoita sitä, että näiden funktioiden arvojen erotus lähestyy nollaa, kun x lähestyy ääretöntä, vaan sitä, että niiden arvojen osamäärä lähestyy yhtä, kun x lähestyy ääretöntä. Arvion antama virhe voi siis olla suurikin, mutta suhteutettuna x:ään se on tarpeeksi pieni, jotta arvio on hyödyllinen.

Alkulukuteoreeman esitti ensimmäisen kerran Gauss konjektuurina 1800-luvulla. Sen todistivat toisistaan riippumatta Hadamard ja de la Vallée Poussin vuonna 1896.

Alkulukukaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraava yhtälö tuottaa luonnollisen luvun n eri arvoilla kaikki alkuluvut ja vain ne:

f(n) = 2 + (2(n!) \, \operatorname{mod} (n+1)).

Tämän lausekkeen arvo on n+1, jos tämä on alkuluku, muussa tapauksessa 2. Luvun n arvoilla 1 – 11 lauseke saa arvot 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 2, 2, 11, 2 ja 13.

Kaavan hyöty on kuitenkin lähinnä teoreettinen, koska kertoman laskeminen on erittäin työlästä tietokoneillekin. Esimerkiksi alkulukua f(23) varten täytyy laskea luvun 22 kertoma, joka on 1 \,124 \, 000 \, 727 \, 777 \, 607 \, 680 \, 000.

Ohjelman pseudokoodi:

define factorial(n):
  if n == 0 or n == 1:
      return 1
  else:
      return n*factorial(n-1)

k = read_integer()
 
for n in 1 to k:
  c = factorial(n)
  prime = 2 + (2*c mod (n + 1))

  if prime not in seen_primes:
      seen_primes.insert(prime)
      print prime

Suurimpia tunnettuja alkulukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaavio suurimman tunnetun alkuluvun kasvusta logaritmisella asteikoilla

Suurin tunnettu alkuluku on 2^{57\, 885\, 161} -1. Tässä luvussa on noin 17 miljoonaa numeroa. Se on 48. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 25. tammikuuta 2013 Central Missourin yliopiston professori Curtis Cooperin tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin.[2]

Toiseksi suurin tunnettu alkuluku on 2^{43\, 112\, 609} -1. Tässä luvussa on 12 978 189 numeroa. Se on 45. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 23. elokuuta 2008 University of California, Los Angelesin matematiikan osaston tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin.

Kolmanneksi suurin tunnettu alkuluku on 2^{42\, 643\, 801} -1. Tässä luvussa on 12 837 064 numeroa. Se on 47. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 12. kesäkuuta 2009 Odd Magnar Strindmo, joka osallistui GIMPS-projektiin.

Neljänneksi suurin tunnettu alkuluku on 2^{37\, 156\, 667} -1. Tässä luvussa on 11 185 272 numeroa. Se on 46. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 6. syyskuuta 2008 Hans-Michael Elvenich Saksan Langenfeldistä, joka osallistui GIMPS-projektiin. Tämä oli ensimmäinen epäjärjestyksessä löytynyt Mersennen alkuluku sitten vuoden 1988.

Viidenneksi suurin tunnettu alkuluku on 2^{32\, 582\, 657} -1. Tässä luvussa on 9 808 358 numeroa. Se on 44. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 4. syyskuuta 2006 University of Central Missourin ryhmä, joka osallistui GIMPS-projektiin.

Kuudenneksi suurin tunnettu alkuluku on 2^{30\, 402\, 457} -1 . Tässä luvussa on 9 152 052 numeroa. Se on 43. tunnettu Mersennen alkuluku, jonka löysivät professorit Curtis Cooper ja Steven Boone GIMPS-projektin avulla 15. joulukuuta 2005.

Suurin tunnettu alkuluku joka ei ole Mersennen alkuluku on 19249 \times 2^{13\, 018\, 586} + 1. Siinä on 3 918 990 numeroa. Se löydettiin Seventeen or Bust -projektin avulla 26.3.2007.

Avoimia kysymyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matematiikassa on monia alkulukuja koskevia avoimia kysymyksiä, joista varmastikin tunnetuin on Riemannin hypoteesi. Alla on lueteltu muita tunnettuja avoimia kysymyksiä.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

John Derbyshire: Alkulukujen lumoissa. Terra Cognita, 2006. ISBN 952-5202-75-5.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Gleick, James: Kiire. Miksi aika tahtoo loppua?. (Alkuteos: Faster. The Acceleration of Just About Everything, 1999.) Suomentanut Arto Schroderus. Helsinki: Tammi, 2001. ISBN 951-31-1993-9.
  2. http://www.digitoday.fi/tiede-ja-teknologia/2013/02/06/uusi-suurin-alkuluku-tayttaisi-28-romaania/20132017/66

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]