Wilsonin lause

Matematiikassa Wilsonin lauseen mukaan p on alkuluku, jos ja vain jos

$(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$.

Historia

Lauseen keksi ensimmäisenä Ibn al-Haytham (tunnetaan myös nimellä Alhazen), mutta se on nimetty John Wilsonin mukaan, joka keksi tuloksen yli 700 vuotta myöhemmin. Edward Waring julkaisi tuloksen vuonna 1770, vaikka hän ja Wilson eivät kyenneet todistamaan lausetta. Joseph Louis Lagrange antoi ensimmäisen todistuksen vuonna 1773. Gottfried Leibniz tunsi myös tuloksen vuosikymmenen aikaisemmin, mutta ei koskaan julkaissut todistusta.

Todistus

Jos p on pariton alkuluku, joukko G = (Z/pZ)^× = {1, 2, ... p − 1} muodostaa multiplikatiivisen ryhmän modulo p suhteen. Tällöin kaikilla G:n alkioilla a on olemassa yksikäsitteinen käänteisalkio b, jolle ab ≡ 1 (mod p) ja joka on siis myös G:n alkio. Jos a ≡ b (mod p), on a² ≡ 1 (mod p), jolloin a² − 1 = (a + 1)(a − 1) ≡ 0 (mod p), ja koska p on alkuluku, on oltava a ≡ 1 tai −1 (mod p), joten a = 1 tai a = p − 1.

Toisin sanoen 1 ja p − 1 ovat itsensä käänteisalkioita, mutta kaikille muille G:n alkioille on olemassa toinen käänteisalkio, joten ryhmittelemällä tulon tekijät huomataan, että tuloksi tulee −1. Jos p = 2, on helppo nähdä, että Wilsonin lause on voimassa.

Toisaalta olkoon kongruenssirelaatio voimassa yhdistetylle luvulle n. Tällöin n:llä on aito tekijä d, 1 < d < n. Selvästi d jakaa (n − 1)!. Mutta kongruenssin perusteella d jakaa myös luvun (n − 1)! + 1, joten d jakaa ykkösen, mikä on ristiriita.

Lähteet

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 147–148. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)