Aritmetiikan peruslause

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Aritmetiikan peruslause on lukuteorian perustulos. Sen mukaan jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona, esimerkiksi , ja kullekin luvulle on olemassa vain yksi tällainen esitys, tekijöiden järjestystä lukuunottamatta.[1] Tällaista tuloesitystä kutsutaan luvun alkutekijähajotelmaksi.[2]

”Tekijöiden järjestystä lukuunottamatta” tarkoittaa, että tekijät voidaan kertolaskun vaihdannaisuuden vuoksi vaihtaa eri järjestykseen, mutta näitä pidetään silti samana tuloesityksenä. Esimerkiksi esityksiä pidetään samoina, koska niissä on samat alkutekijät yhtä monta kertaa, vaikka eri järjestyksessä. Usein järjestys kiinnitetään niin, että alkuluvut luetellaan pienimmästä suurimpaan: . Toistuva tekijä voidaan myös esittää potenssina: .[1]

Aritmetiikan peruslause pätee silloinkin, kun esitettävä luku itse on alkuluku. Tällöin alkutekijähajotelmassa on vain yksi tekijä.[3] Esimerkiksi luvun 7 alkutekijähajotelma on 7.

Aritmetiikan peruslause voidaan helposti laajentaa myös tapaukseen, jossa esitettävä luku on 1, mikäli sallitaan tyhjä tulo eli tulo, jossa ei ole yhtään tekijää. Tyhjän tulon arvoksi määritellään 1. Tällöin myös luvulla 1 on yksikäsitteinen alkutekijähajotelma, nimittäin tyhjä tulo.[2][3]

Ykkönen tekijänä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmetiikan peruslauseen muotoilu on yksi syistä, miksi lukua 1 ei nykyään yleensä määritellä alkuluvuksi. Eri aikoina on ykkösen asema vaihdellut: joskus sitä ei ole pidetty lukuna lainkaan, joskus se taas on määritelty yhdeksi alkuluvuista. Nykyinen määritelmä sopii hyvin aritmetiikan peruslauseen muotoiluun. Jos ykkönen otettaisiin mukaan alkulukuihin, eivät alkutekijähajotelmat enää olisi yksikäsitteisiä, sillä tuloon voisi ottaa mukaan mielivaltaisen määrän ykkösiä: esimerkiksi [4]

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmetiikan peruslauseessa on olennaisesti kaksi väitettä: alkutekijähajotelman olemassaolo ja sen yksikäsitteisyys.

Alkutekijähajotelman olemassaolo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkutekijähajotelman olemassaolo voidaan todistaa melko suoraviivaisesti induktiolla. Todetaan aluksi, että luvulla 2 on olemassa alkutekijähajotelma 2. Oletetaan sitten, että kaikille kokonaisluvuille on olemassa alkutekijähajotelma, ja tutkitaan seuraavaa kokonaislukua . Jos on alkuluku, niin se on oma alkutekijähajotelmansa. Jos taas on yhdistetty luku, niin se voidaan hajottaa tuloksi , missä ja ovat kokonaislukuja ja . Induktio-oletuksen nojalla ja voidaan kumpikin esittää alkulukujen tuloina; kertomalla nämä tulot keskenään saadaan alkulukujen tulona.[3]

Alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hajotelman yksikäsitteisyys voidaan todistaa eri tavoin, riipppuen siitä mitä tuloksia oletetaan tunnetuiksi.

Eukleideen lemma sanoo, että jos jokin alkuluku jakaa kahden luvun tulon , niin se jakaa ainakin toisen sen tekijöistä. Induktiolla tästä seuraa, että jos alkuluku jakaa jonkin tulon , niin jakaa jonkin tekijöistä

Aritmetiikan peruslause seuraa Eukleideen lemmasta melko yksinkertaisesti. Olkoon luvulla kaksi alkutekijähajotelmaa

Koska jakaa tulon , niin jakaa jonkin tekijöistä , ja koska ne ovat alkulukuja, niin on eräs niistä. Molemmat alkutekijähajotelmat voidaan nyt supistaa :llä. Jatkamalla samaan tapaan nähdään, että alkutekijähajotelmat ovatkin samat.[5]

Vaihtoehtoisesti aritmetiikan peruslause voidaan todistaa myös suoraan jaollisuuden perusominaisuuksista, käyttämättä Eukleideen lemmaa, Eukleideen algoritmia tai vastaavia aputuloksia. Ernst Zermelo kehitti tällaisen suoraviivaisen todistuksen vuonna 1912.[6]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gauss todisti alkutekijöihin jaon yksikäsitteisyyden 1801 julkaistussa teoksessaan.

Kokonaislukujen jakaminen alkutekijöihin oli tuttua jo antiikin kreikkalaisille. Eukleideen Alkeissa on useita tähän liittyviä tuloksia, mutta ei kuitenkaan aritmetiikan peruslausetta sen nykyisessä muodossa.[7]

Persialainen matemaatikko Kamāl al-Dīn al-Fārisī (k. noin 1320) esitti lauseen olemassaolopuolen yleisessä muodossa.[7]

Carl Friedrich Gauss huomautti vuonna 1801 teoksessaan Disquisitiones arithmeticae, että alkutekijähajotelman olemassaolo on kyllä ilmeistä, mutta sen yksikäsitteisyys yleensä vain oletetaan ilman kunnollista todistusta. Gauss esitti ja todisti ilmeisesti ensimmäistä kertaa aritmetiikan peruslauseen jokseenkin nykymuodossaan, siis myös hajotelman yksikäsitteisyyden.[7]

Theorema. Numerus compositus quicunque unico tantum modo in factores primos resolvi potest. [8]

Yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmetiikan peruslauseen kaltainen tulos pätee myös joissakin muissa lukujoukoissa, mutta ei kaikissa. Kokonaisaluetta, jossa jokaisella alkiolla on (järjestystä ja yksiköitä vaille) yksikäsitteinen jako alkualkioiden tuloksi, kutsutaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (engl. unique factorization domain, UFD).[9]

Gaussin luvuiksi kutsutaan lukujoukkoa eli kompleksilukuja, joiden reaali- ja imaginaariosat ovat kokonaisia. Gaussin lukujen joukossa voidaan määritellä alkulukua vastaava käsite, joskin esimerkiksi 5 ei nyt ole alkuluku, sillä . Gaussin lukujen joukossa jokaisella luvulla on (järjestystä ja etumerkkejä vaille) yksikäsitteinen jako alkulukujen tuloksi, eli aritmetiikan peruslausetta vastaava tulos pätee.[10]

Toisaalta lukujoukossa luvulla 6 on kaksi eri hajotelmaa jaottomien alkioiden tuloksi: . Tässä joukossa alkutekijöihin jako ei siis ole yksikäsitteinen.[1]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 97–98. Fourth edition. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 2000. ISBN 0-201-87073-8. (englanniksi)
  2. a b Ranto, Sanna: Lukuteoria ja algebra: Aritmetiikan peruslause matta.hut.fi. 2003. Viitattu 7.9.2019.
  3. a b c Davenport, H.: The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, s. 17–20. Seventh edition. Cambridge University Press, 1999. Google Books (viitattu 12.9.2019).
  4. Caldwell, Chris K., Reddick, Angela, Xiong, Yeng ja Keller, Wilfrid: The History of the Primality of One: A Selection of Sources. (Article 12.9.8) Journal of Integer Sequences, 2012, 15. vsk. Artikkelin verkkoversio Viitattu 7.9.2019.
  5. Davenport, s. 27–28.
  6. Vesalainen, Esa V.: Zermelo ja aritmetiikan peruslause. Solmu, 2014, nro 1. Artikkelin verkkoversio Viitattu 27.9.2019.
  7. a b c Ağargün, A. Göksel ja Özkan, E. Mehmet: A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic. Historia Mathematica, 2001, 28. vsk, s. 207–214. Artikkelin verkkoversio Viitattu 7.9.2019.
  8. Gauss, Carolo Friderico: Disquisitiones Arithmeticae, s. 15. Lipsia (Leipzig): Gerh. Fleischer, 1801. Wikiaineistossa (viitattu 8.9.2019).
  9. Matematiikan verkkosanakirja (hakusana Yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue) Matematiikkalehti Solmu. Viitattu 7.9.2019.
  10. Boyer, Carl. B. ja Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar, Matematiikan historia, osa II, s. 701. 2. painos. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Art House, 1995.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.