Kokonaisalue

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Rengasta kutsutaan kokonaisalueeksi (engl. integral domain), jos on kommutatiivinen eikä :ssä ole nollanjakajia. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat , missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki .

Karakteristika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkion monikerta on , missä yhteenlaskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla n, kun a on nollasta poikkeava, niin jokaisella D:n alkiolla b tulo nb on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon a nollasta poikkeava kokonaisalueen D alkio ja olkoon D:n karakteristika n. Tällöin , joten jos , niin täytyy olla , koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön .

Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, . . Tällöin ja koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, on tai . Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan . Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli . Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen D karakteristika on nolla, on D:ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.

Äärelliset kokonaisalueet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta. Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.

Tulos voidaan perustella seuraavasti:

Olkoon äärellinen kokonaisalue, kokonaisalueen alkioiden lukumäärä ja jokin sen nollasta eroava alkio. Olkoot kokonaisalueen R erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot ovat keskenään erisuuria. Jos nimittäin olisi erisuurilla indeksien ja arvoilla, niin olisi . Tällöin ja olisivat kokonaisalueen nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen alkiot. Erityisesti jollakin . Alkio on tällöin alkion käänteisalkio.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.