Kertoma

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista kertomaa. Artikkeli verbien aikamuodosta, katso imperfekti.
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73368733... × 101000
3249 6,41233768... × 1010 000
25206 1,205703438... × 10100 000

Positiivisen kokonaisluvun kertoma on luvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään . Esimerkiksi

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.

Merkinnän esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.[1]

Kertomaa käytetään yleensä pitkien kertolaskujen esittämiseen esm.

voidaan esittää muodossa

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luvun kertoma määritellään seuraavasti: [2]

kaikilla luonnollisilla luvuilla .

Esimerkiksi

.

On lisäksi määritelty, että , koska tyhjä tulo on . Luvun kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.

Kasvunopeus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertoma kasvaa varsin nopeasti. Monilla laskimilla saatu likiarvo 69:n kertomasta, () on jo yli triljoonakertaisesti ihmiskunnan arvioimaa tunnetun maailmankaikkeuden atomimäärää suurempi.

Stirlingin kaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:

.

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla on voimassa arvio

[3].

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

Lukuteoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti on jaollinen kaikilla lukua pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että on yhdistetty luku, jos

.

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

,

jos on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa . Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

,

missä luvut ovat alkulukuja.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Florian Cajori: ”448”, A History of mathematical Notations, Volume II, s. 72. . ISBN 978-1-60206-713-4.
  2. Richard Courant & Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis 1 - Volume 1, s. 56. Springer, 1999. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)
  3. https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Error_in_Stirling%27s_Formula

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]