Kertoma

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
15	1 307 674 368 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000
50	3,04140932... × 1064
70	1,19785717... × 10100
450	1,73368733... × 101000
3249	6,41233768... × 1010 000
25206	1,205703438... × 10100 000

Positiivisen kokonaisluvun $n$ kertoma on luvun $n$ ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään $n!$. Esimerkiksi

$4 ! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \$

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.

Merkinnän $n!$ esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.

Määritelmä

Luvun $n$ kertoma määritellään seuraavasti:

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$.

Esimerkiksi

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

On lisäksi määritelty, että $0! = 1$, koska tyhjä tulo on $1$. Luvun $n$ kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.

Kasvunopeus

Kertoma kasvaa varsin nopeasti. Monilla laskimilla saatu likiarvo 69:n kertomasta, ($1{,}7 \cdot 10^{98}$) on jo yli triljoonakertaisesti ihmiskunnan arvioimaa tunnetun maailmankaikkeuden atomimäärää suurempi.

Stirlingin kaava

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:

$n! \approx \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}$.

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on voimassa arvio

$\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n}}$.

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

$\left( \frac{10}{e} \right)^{10} \sqrt{2 \pi \cdot 10}$	$\approx$	$3 \, 598 \, 696$
$\left( \frac{100}{e} \right)^{100} \sqrt{2 \pi \cdot 100}$	$\approx$	$9{,}325 \cdot 10^{157}$
$\left( \frac{10^6}{e} \right)^{10^6} \sqrt{2 \pi \cdot 10^6}$	$\approx$	$8{,}265 \cdot 10^{5 \, 565 \, 708}$
$\left( \frac{10^9}{e} \right)^{10^9} \sqrt{2 \pi \cdot 10^9}$	$\approx$	$9{,}905 \cdot 10^{8 \, 565 \, 705 \, 522}$

Lukuteoria

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti $n!$ on jaollinen kaikilla lukua $n$ pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että $n > 5$ on yhdistetty luku, jos ja vain jos

$(n-1)!\ \equiv\ 0 \ ({\rm mod}\ n)$.

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

$(p-1)!\ \equiv\ -1 \ ({\rm mod}\ p)$,

jos ja vain jos $p$ on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa $\scriptstyle n! \pm 1$. Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

$n! = \prod_{p\leq n} p^{ \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor }$,

missä luvut $p$ ovat alkulukuja.

Katso myös

• Todennäköisyyslaskenta
• Gammafunktio
• Binomikerroin
• Kertomafunktio

Aiheesta muualla

• Mathworld: Factorial (englanniksi)
• Mathworld. Stirling's Approximation (englanniksi)
• http://factorielle.free.fr (englanniksi)
• Online laskimet kertoma