Syklinen ryhmä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Syklinen ryhmä on yhden alkion generoima ryhmä. On siis olemassa ryhmän G alkio a, jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot. Siis jokaista ryhmän G alkiota g kohti on olemassa sellainen kokonaisluku k, että a^k =g. \ Tällöin merkitään

G = \langle a \rangle = \left\{ a^n \ | \ n \in \Z \right\}. \

Ei-triviaaleja syklisiä ryhmiä löytyy aliryhminä kaikista ei-triviaaleissa ryhmissä. Sykliset ryhmät ovat rakenteeltaan hyvin suoraviivaisia ja esimerkiksi syklisen ryhmän aliryhmiin liittyvä rakenne tunnetaan täysin. Äärellisten ryhmien teoriassa syklisten ryhmien voidaan ajatella olevan Abelin ryhmien rakennuspalikoita suorien tulojen kautta ja ratkeavien ryhmien perusosasia kompositioketjun tekijöinä.

Syklinen ryhmä voi koostua joko n:stä alkiosta C_n = \langle c \rangle = \left\{1,c,...,c^{n-1}\right\}, tai se voi olla ääretön ryhmä C_\infty = \langle c \rangle = \left\{c^m |\ m\in\mathbb{Z}\right\}.

Kertalukua n olevan syklisen ryhmän konstruointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon X \ mielivaltainen n alkiota sisältävä joukko, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Numeroidaan joukon alkiot

 X = \left\{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} \right\}

ja asetetaan joukkolle X \ binäärinen operaatio  * \ seuraavasti:

x_k * x_l =x_{k+l}, \ mikäli k+l \leq n-1 ja
x_k * x_l =x_{k+l-n}, \ mikäli k+l > n-1 \

kaikilla kokonaisluvuilla 0 \leq k,l \leq n-1 . \ Kokonaislukujen laskutoimitusten nojalla pari (X,*) \ toteuttaa ryhmän aksioomat. Tällöin alkio x_0 \ on ryhmän neutraalialkio, alkion x_k, 1 \leq k \leq n-1 \ käänteisalkio on alkio x_l, \  missä l=n-k.\ Lisäksi alkio x_1 \ generoi ryhmän X. \

Syklisten ryhmien ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Sykliset ryhmät ovat kommutatiivisia, ts. Abelin ryhmiä.
  • Kaikki syklisen ryhmän aliryhmät ja tekijäryhmät ovat syklisiä.
  • Kaksi äärellistä ryhmää ovat keskenään isomorfisia jos ja vain jos niiden kertaluvut ovat samat. Erityisesti siis kaikki kertalukua n olevat äärelliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
  • Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on välttämättä syklinen.
  • Äärellinen syklinen ryhmä on yksinkertainen jos ja vain jos sen kertaluku on alkuluku. Itse asiassa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, ovat ainoat äärelliset yksinkertaiset ratkeavat ryhmät.

Olkoon jatkossa C_n = \langle c \rangle kertalukua n oleva syklinen ryhmä.

  • Jokaista kertaluvun n jakajaa k kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän C_n \ kertalukua k oleva aliryhmä. Jos n=km, missä m on positiivinen kokonaisluku, niin tämä kertalukua k oleva aliryhmä on \langle c^m \rangle .
  • Jokaista kertaluvun n jakajaa k kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän C_n \ kertalukua k oleva tekijäryhmä.
  • Ryhmän C_n \ automorfismien ryhmä on isomorfinen ryhmän \Z_n^* kanssa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.