Syklinen ryhmä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Syklinen ryhmä on yhden alkion generoima ryhmä. On siis olemassa ryhmän alkio , jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot. Siis jokaista ryhmän alkiota kohti on olemassa sellainen kokonaisluku , että Tällöin merkitään

Ei-triviaaleja syklisiä ryhmiä löytyy aliryhminä kaikista ei-triviaaleista ryhmistä. Sykliset ryhmät ovat rakenteeltaan hyvin suoraviivaisia, ja esimerkiksi syklisen ryhmän aliryhmiin liittyvä rakenne tunnetaan täysin. Äärellisten ryhmien teoriassa syklisten ryhmien voidaan ajatella olevan Abelin ryhmien rakennuspalikoita suorien tulojen kautta ja ratkeavien ryhmien perusosasia kompositioketjun tekijöinä.

Syklinen ryhmä voi koostua joko n:stä alkiosta , tai se voi olla ääretön ryhmä .

Kertalukua olevan syklisen ryhmän konstruointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon mielivaltainen alkiota sisältävä joukko, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Numeroidaan joukon alkiot

ja asetetaan joukolle binäärinen operaatio seuraavasti:

mikäli ja
mikäli

kaikilla kokonaisluvuilla Kokonaislukujen laskutoimitusten nojalla pari toteuttaa ryhmän aksioomat. Tällöin alkio on ryhmän neutraalialkio, alkion käänteisalkio on alkio missä Lisäksi alkio generoi ryhmän

Syklisten ryhmien ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Sykliset ryhmät ovat kommutatiivisia, ts. Abelin ryhmiä.
  • Kaikki syklisen ryhmän aliryhmät ja tekijäryhmät ovat syklisiä.
  • Kaksi äärellistä syklistä ryhmää ovat keskenään isomorfisia, jos ja vain jos niiden kertaluvut ovat samat. Erityisesti siis kaikki kertalukua olevat äärelliset sykliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
  • Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on välttämättä syklinen.
  • Äärellinen syklinen ryhmä on yksinkertainen, jos ja vain jos sen kertaluku on alkuluku. Itse asiassa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, ovat ainoat äärelliset yksinkertaiset ratkeavat ryhmät.

Olkoon jatkossa kertalukua oleva syklinen ryhmä.

  • Jokaista kertaluvun jakajaa kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän kertalukua oleva aliryhmä. Jos , missä on positiivinen kokonaisluku, niin tämä kertalukua oleva aliryhmä on
  • Jokaista kertaluvun jakajaa kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän kertalukua oleva tekijäryhmä.
  • Ryhmän automorfismien ryhmä on isomorfinen ryhmän kanssa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.