Tekijäryhmä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa tekijäryhmä on tunnetusta ryhmästä ja sen normaalista aliryhmästä konstruoitu uusi ryhmä. Tekijäryhmälle käytetään yleensä merkintää ja tätä kutsutaan ryhmän tekijäryhmäksi modulo .

Tekijäryhmien merkitys ryhmäteoriassa perustuu siihen, että useat hyödylliset ryhmäteoreettiset ominaisuudet säilyvät siirryttäessä tarkastelemaan tekijäryhmiä. Toisaalta tekijäryhmän rakenne antaa myös tietoa alkuperäisen ryhmän rakenteesta. Esimerkiksi äärellisten ryhmien teoriassa usein käytetty todistustekniikka perustuu induktioon ryhmän kertaluvun suhteen. Tällöin tutkittavalle ryhmälle pyritään löytämään sopiva tekijäryhmä, johon induktio-oletusta voitaisiin soveltaa ja josta ominaisuus pyritään siirtämään takaisin alkuperäiseen ryhmään.

Konstruktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ryhmä ja sen aliryhmä. Määritellään aliryhmän vasempien sivuluokkien joukolle

relaatio seuraavasti:

kaikilla

Tutkitaan milloin kyseessä on funktio tarkastelemalla milloin kuva-alkio ei riipu sivuluokkien edustajien valinnasta. Olkoon ja mielivaltaisilla Tällöin

ja

Nyt

jos ja vain jos

Yllä oleva yhtälö pätee täsmälleen silloin, kun Koska alkio oli mielivaltainen, niin relaatio on funktio täsmälleen silloin, kun aliryhmä on normaali eli kaikilla . Tällöin aliryhmän vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat, jolloin joukko on myös oikeiden sivuluokkien joukko. Suoraan määritelmästä nähdään, että joukko on binäärioperaation neutraalialkio, alkion käänteisalkio on alkio ja että operaatio on assosiatiivinen. Siis pari on ryhmä.

Toinen konstruktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukot ryhmän alkioiden ei-tyhjiä osajoukkoja. Määritellään joukkojen ja tulo joukkona

Tämä tulo määrittelee nyt assosiatiivisen binäärioperaation ryhmän alkioiden ei-tyhjien osajoukkojen joukolle. Jos ja , niin

eli kahden vasemman sivuluokan tulo on vasen sivuluokka. Täten joukolle voidaan määritellä assosiatiivinen binäärioperaatio joukkojen tulon avulla. Kuten aikaisemmassakin esimerkissä, niin tämän binäärioperaation neutraalialkio on joukko ja alkion käänteisalkio on sivuluokka

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokonaisluvut muodostavat ryhmän yhteenlaskun suhteen. Olkoon mielivaltainen kokonaisluku ja joukko

luvun monikertojen joukko. Tällöin aliryhmäkriteerin nojalla ja koska kyseessä on Abelin ryhmä, niin Nyt tekijäryhmä on kertalukua oleva syklinen ryhmä, jota kutsutaan kokonaislukujen yhteenlaskuryhmäksi modulo

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kuvausta kutsutaan luonnolliseksi homomorfiaksi. Kuvaus on surjektio ja sen ydin on sivuluokka . Täten mikä on eräs erikoistapaus homomorfismien peruslauseesta. Tämä osoittaa myös, että ryhmän aliryhmä on normaali jos ja vain jos on olemassa sellainen ryhmä ja sellainen homomorfismi , että aliryhmä on ryhmän homomorfismin ydin.
  • Jokaisella ryhmällä on triviaalit tekijäryhmät ja
  • Mikäli normaalilla aliryhmällä on äärellinen määrä sivuluokkia ryhmässä , niin tekijäryhmän kertaluku on sivuluokkien lukumäärä eli Lagrangen indeksilauseen nojalla
  • Syklisen ryhmän jokainen tekijäryhmä on syklinen.
  • Abelin ryhmän jokainen tekijäryhmä on Abelin ryhmä.
  • Nilpotentin ryhmän jokainen tekijäryhmä on nilpotentti.
  • Ratkeavan ryhmän jokainen tekijäryhmä on ratkeava.
  • Derivaattaryhmä jos ja vain jos ja tekijäryhmä on Abelin ryhmä. Täten derivaattaryhmä on suppein normaaleista aliryhmistä, joiden tekijäryhmä kommutoi.
  • Jos niin jos ja vain jos Tällöin lisäksi jos ja vain jos
  • Ryhmällä voi olla tekijäryhmiä, jotka eivät ole isomorfisia minkään aliryhmän kanssa. Toisaalta esimerkiksi jos ja on olemassa sellainen , että ja niin