Käänteisalkio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon kuuluvan alkion binäärioperaation laskutulos on joukon neutraalialkio eli [1] Tällöin sanotaan, että ja ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla on olemassa yksi käänteisluku , jolle

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkiolla on vasemmanpuoleinen käänteisalkio , jos ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemassa käänteisalkio.[2][3] Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.[4]

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion käänteisalkiota . Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli .[3][5][6]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokonaislukujen joukossa pari sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla . Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.[2]

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku , voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta . Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku , koska . Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti.[2]

Funktioiden joukossa , missä on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus on yhdisteen neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa Jos on bijektio, on funktion käänteiskuvaus laskutoimituksen suhteen ja . Muilla joukon alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.[3]

Käänteisalkiot algebrassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio.[7] Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio.[8] Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutuimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi.[9] Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.[10][11]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 47. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
  2. a b c Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. (englanniksi)
  3. a b c Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)
  4. Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto.
  5. Barile, Margherita: Additive Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Barile, Margherita: Multiplicative Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Group (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Ring (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Weisstein, Eric W.: Field (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Barile, Margherita: Invertible Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)