Käänteisalkio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon kuuluvan alkion binäärioperaation laskutulos on joukon neutraalialkio eli

Tällöin sanotaan, että ja ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla on olemassa yksi käänteisluku , jolle

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkiolla on vasemmanpuoleinen käänteisalkio , jos ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemassa käänteisalkio.[1][2] Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.[3]

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion käänteisalkiota . Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli .[2][4][5]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokonaislukujen joukossa pari sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla . Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.[1]

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku , voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta . Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku , koska . Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti.[1]

Funktioiden joukossa , missä on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus on yhdisteen neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa Jos on bijektio, on funktion käänteiskuvaus laskutoimituksen suhteen ja . Muilla joukon alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.[2]

Käänteisalkiot algebrassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio.[6] Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio.[7] Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutuimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi.[8] Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.[9][10]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. (englanniksi)
  2. a b c Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)
  3. Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto.
  4. Margherita Barile: Additive Inverse (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Margherita Barile: Multiplicative Inverse (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Group (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Weisstein, Eric W.: Ring (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Field (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Margherita Barile: Invertible Element (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)