Matemaattinen induktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Induktiotodistuksen periaatetta voi verrata kaatuviin dominopalikoihin.

Matemaattinen induktio on matemaattinen todistusmenetelmä, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.

Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua koskeva väite todeksi kaikilla luvun arvoilla. Teknisesti induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:

  1. Perusaskel
    • Osoitetaan esimerkin kautta, että on tosi
  2. Induktioaskel
    • Induktio-oletus: oletetaan, että on tosi arvolla
    • Induktioväite: väitetään, että tosi arvolla
    • Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa induktioväite
  3. Johtopäätös
    • Induktioaskeleessa todistettiin, että on tosi aina seuraavalla luvun arvolla. Koska on tosi, niin myös on tosi kaikilla luonnollisilla luvuilla .

Toisin kuin induktiivisessa päättelyssä, matemaattiseen induktioon ei sisälly Humen ongelmaa, sillä matemaattinen induktio on rekursioon perustuvaa todistamista eli pätevää deduktiivista päättelyä. Todistus perustuu rekursiorelaation avulla määriteltyyn äärettömän joukon säännönmukaisuuteen, joka todistuksessa yleistetään koko joukkoon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoon. Matemaattinen induktio voidaan myös samaistaa täydellisen induktion kanssa, sillä siinä käydään rekursiivisesti kaikki mahdolliset yksittäistapaukset läpi.[1][2]

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan oikeaksi kaava

  1. Perusaskel:
    Näytetään, että pätee:
  2. Induktioaskel:
    Induktio-oletus: on tosi. (Varmaksi tiedetään jo siis paikkansapitävyys.)
    Induktioväite: on tosi. Toisin sanoen
    Induktio-oletuksen nojalla voidaan tehdä sijoitus , jolla yhtälön vasen puoli saadaan muotoon
    Jos tämä voidaan esittää samassa muodossa kuin induktioväitteen oikea puoli, niin induktiotodistus on saatettu loppuun. Induktioväite on tosi, koska
  3. Johtopäätös:
    Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla . Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun . Näiden kahden seurauksena kaava pitää paikkansa myös arvoilla

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]