Normaali aliryhmä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa normaali aliryhmä on aliryhmä, joka toteuttaa kaikilla ehdon

eli mielivaltaisen alkion määräämät vasen ja oikea sivuluokka ovat samat. Aliryhmärelaatiota merkitään Normaalien ryhmien olemassaolo vaikuttaa suuresti ryhmän rakenteeseen. Lisäksi normaalien aliryhmien avulla voidaan konstruoida tekijäryhmiä.

Normaaliuskriteeri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli , niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

  • aliryhmä on normaali ryhmässä ,
  • kaikilla pätee, että ,
  • kaikilla pätee, että ,
  • ja
  • on olemassa sellainen ryhmä ja sellainen homomorfismi , että aliryhmä on ryhmän homomorfismin ydin eli

Koska ehdot ovat yhtäpitäviä, voitaisiin niistä mikä tahansa valita normaalin aliryhmän määritelmäksi. Monissa ryhmää vastaavissa algebran rakenteissa otetaan käyttöön viimeisen väitteen analogia, kun halutaan määritellä normaalia aliryhmää vastaava rakenne. Esimerkiksi luupeissa normaalin aliluupin määritelmä on usein helpointa tehdä luuppihomomorfismien avulla. Toisaalta kommutativiisia renkaita tutkittaessa normaalia aliryhmää vastaava rakenne on ideaali. Vaikka ideaalin määritelmä ei suoraan muistuta normaalin aliryhmän määritelmää, niin kommutatiivisen ryhmän osajoukko on ideaali jos ja vain jos se on jonkin rengashomomorfismin ydin.

Todistus eräälle normaaliuskriteerille[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monesti aliryhmän normaalius selvitetään käyttämällä nk. normaaliuskriteeriä, jonka mukaan ryhmän aliryhmä on normaali, jos ja vain jos

Tämä normaaliuskriteeri voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan aluksi, että on ryhmän normaali aliryhmä. Koska sivuluokat yhtyvät, voidaan valita mielivaltaiset sivuluokkien alkiot , missä . Kertomalla tämä alkion käänteisalkiolla, saadaan Oletetaan sitten väitteen oikea puoli todeksi ja tutkitaan alkiota Osoitetaan, että . Valitaan ja merkitään , jossa . Kertomalla oikealta alkiolla saadaan . Siis . Tehdään samoin korvaamalla alkio alkiolla käänteisalkiollaan. Siis , , josta saadaan eli . Kokonaisuudessaan siis , eli aliryhmä on normaali.

Esimerkkejä ja ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Triviaali aliryhmä ja ryhmä itse ovat aina ryhmän normaaleja aliryhmiä.
  • Ryhmän keskus on aina normaali ryhmässä
  • Ryhmän derivaattaryhmät , missä ovat aina normaaleja ryhmässä
  • Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali.
  • Jos aliryhmän indeksi ryhmässä on 2, niin
  • Jos ryhmän on äärellinen, p on ryhmän kertaluvun pienin alkutekijä ja aliryhmän indeksi ryhmässä on p, niin
  • Jos niin aliryhmän alkiot melkein kommutoivat muiden aliryhmään kuulumattomien alkioiden kanssa sillä jos ja niin on olemassa sellainen alkio että

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.