Ideaali (rengasteoria)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Renkaan ideaali on tietyntyyppinen renkaan osajoukko.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (R,+, \cdot ) rengas. Tällöin R:n osajoukko I on R:n oikeanpuolinen ideaali, jos

  • (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja
  • xr kuuluu joukkoon I kaikilla I:n alkioilla x ja kaikilla R:n alkioilla r.

Yhtäpitävästi R:n oikeanpuolinen ideaali on R:n oikeanpuolinen R-alimoduli.

Vastaavalla tavalla voidaan määritellä vasemmanpuolinen ideaali. Nyt R:n osajoukko I on R:n ideaali, jos I on sekä R:n oikean- että vasemmanpuolinen ideaali, eli kaksipuolinen ideaali.

Eri ideaaleja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (R,+, \cdot ) rengas ja I R:n ideaali.

  • Aito ideaali: Sanotaan, että I on R:n aito ideaali, jos I \ne R.
  • Maksimaalinen ideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan maksimaaliseksi ideaaliksi, jos ei ole olemassa R:n aitoa ideaalia J, jolle I on J:n aito osajoukko. Maksimaalisen ideaalin tekijärengas on kunta.
  • Alkuideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan alkuideaaliksi, jos kaikilla R:n alkioilla a ja b ehdosta ab kuuluu I:hin seuraa, että ainakin toinen alkioista a ja b kuuluu I:hin. Alkuideaalin suhteen muodostettu tekijärengas on kokonaisalue.
  • Pääideaali: Renkaan R ideaali I on pääideaali, jos I on yhden alkion virittämä.