Ideaali (rengasteoria)

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Renkaan ideaali on tietyntyyppinen renkaan osajoukko. [1]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (R,+, ) rengas. Tällöin R:n osajoukko I on R:n oikeanpuolinen ideaali, jos

  • (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja
  • xr kuuluu joukkoon I kaikilla I:n alkioilla x ja kaikilla R:n alkioilla r.

Yhtäpitävästi R:n oikeanpuolinen ideaali on R:n oikeanpuolinen R-alimoduli. [1]

Vastaavalla tavalla voidaan määritellä vasemmanpuolinen ideaali. Nyt R:n osajoukko I on R:n ideaali, jos I on sekä R:n oikean- että vasemmanpuolinen ideaali, eli kaksipuolinen ideaali.

Eri ideaaleja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (R,+, ) rengas ja I R:n ideaali.

  • Aito ideaali: Sanotaan, että I on R:n aito ideaali, jos I R.
  • Maksimaalinen ideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan maksimaaliseksi ideaaliksi, jos ei ole olemassa R:n aitoa ideaalia J, jolle I on J:n aito osajoukko. Maksimaalisen ideaalin tekijärengas on kunta.
  • Alkuideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan alkuideaaliksi, jos kaikilla R:n alkioilla a ja b ehdosta ab kuuluu I:hin seuraa, että ainakin toinen alkioista a ja b kuuluu I:hin. Alkuideaalin suhteen muodostettu tekijärengas on kokonaisalue.
  • Pääideaali: Renkaan R ideaali I on pääideaali, jos I on yhden alkion virittämä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 216. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.