Ideaali (rengasteoria)
Siirry navigaatioon
Siirry hakuun
Renkaan ideaali on tietyntyyppinen renkaan osajoukko. [1]
Määritelmä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Olkoon (R,+, ) rengas. Tällöin R:n osajoukko I on R:n oikeanpuolinen ideaali, jos
- (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja
- xr kuuluu joukkoon I kaikilla I:n alkioilla x ja kaikilla R:n alkioilla r.
Yhtäpitävästi R:n oikeanpuolinen ideaali on R:n oikeanpuolinen R-alimoduli. [1]
Vastaavalla tavalla voidaan määritellä vasemmanpuolinen ideaali. Nyt R:n osajoukko I on R:n ideaali, jos I on sekä R:n oikean- että vasemmanpuolinen ideaali, eli kaksipuolinen ideaali.
Eri ideaaleja
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Olkoon (R,+, ) rengas ja I R:n ideaali.
- Aito ideaali: Sanotaan, että I on R:n aito ideaali, jos I R.
- Maksimaalinen ideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan maksimaaliseksi ideaaliksi, jos ei ole olemassa R:n aitoa ideaalia J, jolle I on J:n aito osajoukko. Maksimaalisen ideaalin tekijärengas on kunta.
- Alkuideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan alkuideaaliksi, jos kaikilla R:n alkioilla a ja b ehdosta ab kuuluu I:hin seuraa, että ainakin toinen alkioista a ja b kuuluu I:hin. Alkuideaalin suhteen muodostettu tekijärengas on kokonaisalue.
- Pääideaali: Renkaan R ideaali I on pääideaali, jos I on yhden alkion virittämä.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ a b Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 216. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.