Sivuluokka

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Jos on ryhmän aliryhmä ja , niin ryhmän osajoukkoa

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti osajoukkoa

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän oikeaksi sivuluokaksi. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä sivuluokka, mikäli puolella ei ole merkitystä. Yleisessä tapauksessa tosin . Aliryhmää , jolla pätee kaikilla sanotaan ryhmän normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja.

Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissa tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon on ryhmän aliryhmä ja . Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

  • alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän vasempaan sivuluokkaan,
  • eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän vasemmat sivuluokat ovat samat,
  • eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän oikeat sivuluokat ovat samat ja

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio kaikilla on joukon ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja

eli ryhmä voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio

on bijektio kaikilla , niin aliryhmällä on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus

on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän indeksiksi ryhmässä .

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli ja aliryhmän indeksi ryhmässä on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot , että lista sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

Muuta huomionarvoista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä ja , additiivisessa ja . Tässä merkinnässä :n paikalle ajattellaan sijoitetuksi jokainen :n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.

Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.