Bijektio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Bijektio

Bijektio on funktio, jossa jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva.

Bijektio on siis yhtä aikaa sekä injektio että surjektio:

  • Injektio: mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle.
  • Surjektio: jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio.

Bijektiossa jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. Jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen.

Käänteisfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos funktio f on bijektio

f: X \to Y,

voidaan sille määrittää käänteisfunktio

f^{-1}: Y \to X

jolloin käänteisen kuvauksen kaikki joukon Y alkiot saavat arvon maalijoukossa X. Myös käänteisfunktio on bijektio.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio fR → R, f (x)  = 2x + 1, on bijektio, koska jokaista reaalilukua y kohden voidaan ratkaista yhtälö y = 2x + 1 ja saadaan tasan yksi reaalinen vastaus x = (y − 1)/2.

Funktio gR → R, g(x) = x2, ei ole bijektio. Tämä funktio ei ole injektio, koska funktio saa saman arvon kahdella eri muuttujan arvolla: esimerkiksi g(1) = 1 = g(−1). Toisaalta funktio ei ole surjektio, koska havaitaan esimerkiksi, ettei ole reaalilukua x, jolle x2 = −1. Kumpi tahansa näistä seikoista riittää osoittamaan, että funktio g ei ole bijektio. Jos kuitenkin muutetaan funktion g lähtö- ja maalijoukko siten, että pätee g: [0, ∞) → [0, ∞), funktio g on bijektio.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]