Maalijoukko

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Funktio (f) joukosta X (vasemmalla) joukkoon Y (oikealla). Pienempi soikio Y:n sisäpuolella on funktion f arvojoukko. Y on f:n maalijoukko.

Matematiikassa funktion maalijoukko tarkoittaa sitä joukkoa, jossa on funktion kuvauksessa saatavia alkioita. Matemaattisessa merkinnässä

joukko tarkoittaa kuvauksen määrittelyjoukkoa ja tarkoittaa maalijoukkoa.

Arvojoukko maalijoukossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion eli kuvauksen määritelmä on laadittu siten, että kaksi funktiota ovat samat vain, kun kaikki on samaa:

  • lähtöjoukko on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
  • maalijoukko on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
  • kuvauksen sääntö kuvaa kummassakin kuvauksessa kaikki samat lähtöjoukon alkiot samoiksi maalijoukon alkioiksi

Tämän vuoksi maalijoukon sisältö ja funktion arvojoukko siinä tulee tuntea tarkoin.

Arvojoukko on usein maalijoukon osajoukko. Tällöin funktio on injektio.

Joskus funktion arvojoukkoa käytetään maalijoukon synonyyminä, mutta sitä se ei ole. Jos maalijoukko on sama kuin arvojoukko, kuvautuu kaikki määrittelyjoukon alkiot jollekin maalijoukon alkioksi, toisin sanoen, kaikille maalijoukon arvoille voidaan osoittaa jokin määrittelyjoukon alkio.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti

, missä

Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut , joka on reaalilukujen osajoukko. Kuvaus EI ole injektio eikä surjektio. Injektion määritelmän mukaan , kun . Tämä ei toteudu funktiolla , sillä esimerkiksi . Surjektion määritelmän mukaan on surjektio, jos eli funktion maalijoukko on sama kuin sen arvo- eli kuvajoukko. Funktion arvojoukko on kaikki positiiviset reaaliluvut, mutta maalijoukoksi on määritelty kaikki reaaliluvut, myös negatiiviset. Funktiosta voi kuitenkin "pakottaa" surjektion määrittelemällä maalijoukon uudelleen:

Määritellään funktio hieman muuntaen seuraavasti

, missä

Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).

Kolmannen asteen potenssifunktio

, missä

on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.

Yhdistetty funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhdistetyn funktion maalijoukoksi tulee "viimeisen funktion" maalijoukko. Funktio on määritelty

ja funktio on määritelty

.

Tällöin voidaan määrittää yhdistetty funktio

siten, että .

Funktion arvot lasketaan ensin ja sitten avulla. Ensin valitaan luku lähtöjoukosta ja lasketaan se funktion lausekkeella, jolloin saadaan maalijoukon arvo. Saatu arvo lasketaan se funktion f lausekkeella, jolloin saadaa maalijoukon arvo.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.