Joukko

Joukko on matematiikassa joukko-oppiin kuuluva peruskäsite. Periaatteessa joukko on kokoelma olioita eli alkioita, joiksi joukon jäseniä kutsutaan. Joukko voi myös olla tyhjä alkioista, jolloin sitä kutsutaan tyhjäksi joukoksi.

Esimerkkejä joukoista

Taskun sisältö

Naiivi esimerkki joukosta voisi olla taskun sisältö. Taskussa on kolikko, avain, noppa ja tulitikkulaatikko, jolloin joukossa on neljä alkiota. Alkioiden suhde toisiinsa on tasa-arvoinen siinä mielessä, että jokainen esine on taskun jäsen. Tulitikkuaskissa on polttamattomia tikkuja, joten sitä voidaan pitää siinä mielessä osajoukkona, vaikka kokonaisuutena se on myös alkio. Tyhjää joukkoa voisi esittää tyhjä tasku, joka laitetaan taskuun muiden esineiden sekaan. Jos taskussa oleva kolikko luiskahtaa tyhjään taskuun, muuttuu se sisemmän taskun alkioksi ja kuuluu siten joukkoon ja sen osajoukkoon samanaikaisesti.

Lukujoukko

Matematiikassa lukujoukoilla on erityisasema. Suurin osa matematiikasta käsittelee lukuja ja niiden muodostamat joukot ovat analyysin perusta. Tarkastelun kohteeksi voidaan valita tunnettujen lukujen osajoukko, esimerkiksi alle 100 olevien parillisten positiivisten kokonaislukujen joukkoa. Tämän joukon koko on 50 alkiota ja joukkoa kutsutaan äärelliseksi joukoksi.

Koska tunnettuja lukuja on määrättömästi, sanotaan lukujoukon alkioita olevan äärettömän monta. Tällaiseen epäkäytännölliseen tilanteeseen on jouduttu, koska laskulait ovat voimassa yksinkertaisessa muodossaan vain, jos oletetaan lukuja olevan kuinka paljon tahansa. Esimerkiksi lukumääriä tai järjestystä ilmaisevat luvut eli luonnolliset luvut muodostavat tällaisen kompaktin kokonaisuuden. Tässä joukossa yhteen- ja kertolaskutoimitukset onnistuvat niin, että myös tulos kuuluu samaan lukujoukkoon. Tällaista joukkoa kutsutaan äärettömäksi joukoksi.

Myös kokonaisluvut, rationaaliluvut, irrationaaliluvut reaaliluvut ovat perinteisiä matematiikassa käytettyjä lukuja. Niitä voidaan kuvata havainnollisesti lukusuoralla. Nämäkin ovat äärettömiä joukkoja.

Vektorit

Vektorijoukoiksi kutsutaan sellaisia joukkoja, jossa on alkioina useamman lukujoukon yhdistelmiä. Esimerkiksi joukko $A=\{1,2\}$ ja joukko $B=\{1,2,3\}$ voidaan ottaa muodostamaan yhdistelmäalkioita. Joukon $A$ luvut ilmoitetaan ensimmäiseksi luvuksi ja joukon $B$ alkiot toiseksi luvuksi. Kaikki tällaisen lukuparit (a, b) eli vektorit voidaan luetella joukoksi $C$, joka on

$C=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$.

Joukko $C$ on joukkojen $A$ ja $B$ karteesinen tulo eli $C=A\times B$.

Reaalilukujen parit muodostavat siten karteesisen tulon $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$. Tätä lukujoukkoa voidaan havainnollistaa myös xy-tasolla, jossa x-koordinaatti meritsee lukuparin $(x,y)$ vasenta lukua ja y-koordinaatti lukuparin oikeaa lukua. Tilaa eli avaruutta voidaan kuvata lukukolmikolla $(x,y,z)$, joka esittää vektorijoukon $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$ alkiota. Lukukolmikoita käytetään yleisesti esittämään avaruuden kolmiulotteista tilaa, jonka paikkoja esittävät xyz-koordinaatiston vektorit eli pisteet $(x,y,z)$.

Funktiot

Joukkojen alkioita voivat olla myös funktiot. Kaikkien funktioiden joukossa polynomit ovat sen osajoukko ja polynomeissa potenssifunktiot ovat polynomijoukon osajoukko. Funktioilla voi olla yhteisiä ominaisuuksia, jotka sopivat tarkasteltavaan tehtävään. Tällaisia funktioiden joukkoja ovat esimerkiksi alkeisfunktiot, lineaariset funktiot tai algebralliset funktiot.

Peruskäsitteitä

Merkintöjä

Vennin diagrammilla voi esittää joukkoja ja niiden suhteita havainnollisesti. Kuvan joukossa on kreikkalaisia, kyrillisiä ja latinalaisia aakkosia, jotka on siksi ryhmitelty kolmeen osajoukkoon (ympyrät). Kahden osajoukon yhteiset alkiot ovat molempien ympyröiden sisällä. Osa alkiosta kuuluvat kaikkiin kolmeen osajoukkoon yhtä aikaa.

Joukkoja voi havainnollistaa luetteloimalla tai piirtämällä sen alkiot. Joukon alkioiden luetteloimisen sijaan voidaan niiden tunnistamiseksi esittää alkioiden yhteinen ominaisuus. Voidaan sanoa vain, että lukujoukkoon $A$ kuuluu kaikki alle 100 olevat parilliset luonnolliset luvut. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla joukon alkiot pilkulla erottaen aaltosulkujen sisään

$A=\{2,4,6,8,...,98\}$.

Luettelon loppuun lisätään kolme pistettä, jos luettelo jatkuu vielä pitkään, mutta joukon idea selvisi lukijalle. Yhteinen ominaisuus voidaan myös lisätä merkintään, jolloin lukija varmasti huomaa sen:

$A=\{2,4,6,8,...,2n,...,98\}$.

Tällaista merkintää käytetään lukujonojen teoriassa.

Jos lukuja on äärettömän monta, voidaan luettelo aloittaa tai päättää kolmeen pisteeseen. Näin voidaan helposti esittää kaikki joukon $B$ parittomat kokonaisluvut

$B=\{...,-3,-1,1,3,5,...\}$.

Joukko-opissa on oleelista tietää, kuuluuko alkio tarkasteltavaan joukkoon. Ajatus kuulumisestä voidaan esittää väitteenä, jossa kuusi (6) kuuluu joukkoon $A$ eli $6\in A\,$ tai 102 ei kuulu joukkoon $A$ eli $102\notin A$. Useamman luvun tapauksessa merkitään $\{2,4,6\}\in A$ eli luvut 2, 4 ja 6 kuuluvat (yksitellen) joukkoon tai osajoukko $\{2,4,6\}$ kuuluu joukkoon. Kumpikin tulkinta merkitsee samaa asiaa.

Kaksi esiteltyä joukkoa ovat sama joukko, jos jokainen joukon $A$ alkio esiintyy joukossa $B$, ja vastaavasti, jokaisen joukon $B$ alkio esiintyy joukossa $A$. Tällöin merkkään $A=B$.

Ellei joukkoon kuulu mikään alkio, on joukko niin sanottu tyhjä joukko. Se merkitään symbolilla $\varnothing$. On olemassa vain yksi tyhjä joukko, sillä monen erilaisen tyhjän joukon olemassaolo ei ole joukko-opin hengen mukaista.

Alkioiden lukumäärä

Joukon alkioiden lukumäärä on äärellisen joukon tapauksessa selvä. Taskussa olevien esineiden lukumäärä selviää laskemalla esineet, joita taskussa on. Joukon koko on tällöin saatu lukumäärä.

Luonnollisten lukujen joukko on sen sijaan ääretön. Jos luetteloidaan lukujoukon lukuja lähtien liikkeelle sen pienimmästä luvuta 1, jatkaen seuraavaksi suurimmasta luvusta 2 ja näin edetään seuraavaksi suurimpaan lukuun jatkuvasti, on aloitettu laskemisprosessi, jonka loppumista ei voi odottaa. Lukujoukon tärkeä ominaisuus nimittäin on, että jokaisella luvulla n on myös seuraajana sellainen luku, joka on lukua yksi suurempi (n + 1). Luetteloon on siten mahdollista löytää aina vain yksi luku lisää eikä luettelointi siksi lopu milloinkaan. Lukujoukko on siten ääretön.

Rationaalilukujen joukko on myös ääretön, koska se sisältää kaikki luonnolliset luvut ja puuttuvat murtoluvut vielä niiden lisäksi. Kumpi on siten suurempi joukko: luonnolliset luvut vai rationaalit luvut? Arkinen järki sanoo rationaalilukujen joukkoa suuremmaksi, mutta matematiikassa voidaan esittää joukkojen vertailutilanne, jossa huomataan niillä olevan yhtä monta alkiota. Alkioita on molemmissa ääretön määrä. Erotukseksi äärelliselle lukumäärälle käytetään äärettömille joukoille lukumäärän mittana mahtavuutta. Sanotaan, että luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut ovat yhtä mahtavat.

Irrationaaliluvut ja reaaliluvut sen sijaan ovat lukujoukkona edellisiä joukkoja vielä mahtavampia. Kun edellisien joukkojen mahtavuus on $\aleph _{0}$ (lue: alef-0), on jälkimmäisillä mahtavuus jo $\aleph _{1}$. Reaalilukujen rakenne on sellainen, että jokaisessa lukuvälissä on "yhtä paljon alkioita" kuin koko reaalilukujen joukossa. Reaaliluvut ovat irrationaalisten lukujen tavoin äärettömän tiheä. Tilanne ei muutu oleellisesti, jos tarkastellaan karteesia tuloa $\mathbb {R} ^{2}$, sillä jokaiselle reaalilukujoukon $\mathbb {R}$ alkiolle voidaan osoittaa yksi $\mathbb {R} ^{2}$ alkio.

Lähteet

• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0