Tyhjä joukko

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tyhjä joukko on joukko-opillinen kokonaisuus, joka ei sisällä yhtään alkiota. Tyhjän joukon merkki on isohko poikkiviivallinen ympyrä ∅, mutta vaihtoehtoisesti tyhjää joukkoa voidaan merkitä myös tyhjillä aaltosulkeilla {} tai joskus pienellä epsilon-kirjaimella ε. Epätyhjä joukko A puolestaan on joukko, joka ei ole tyhjä joukko. Tällöin merkitään A ≠ ∅.

Koska tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjän joukon jokaiselle alkiolle jokainen väite tosi. Tämä helpottaa monesti tyhjää joukkoa koskevien lauseiden formalisointia. Sen sijaan tyhjälle joukolle kaikki väitteet eivät ole tosia. Epätosi on esimerkiksi väite ”tyhjässä joukossa on alkio”.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyhjä joukko osajoukkona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko. Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Tehdään vastaväite: on olemassa joukko A, jonka osajoukko ∅ ei ole. Tällöin joukossa ∅ on oltava alkio, joka ei ole joukon A alkio. Mutta tyhjässä joukossa ei määritelmän mukaan ole alkioita. Siispä vastaväite on johtanut ristiriitaan, joten se ei voi pitää paikkaansa.

Tyhjän joukon merkit tietokonejärjestelmissä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyhjän joukon merkki sisältyy Unicode-merkistöön, jossa sen tunnus on U+2205. Koska tyhjän joukon merkkiä on kuitenkin hankala tuottaa tavanomaisella näppäimistöllä eikä se edes sisälly kaikkiin merkistöihin tai fontteihin, korvikkeena voidaan käyttää Latin 1 -merkistöönkin sisältyvää suuraakkosta Ø (U+00D8), joka tosin ei yleensä ole muodoltaan täydellinen ympyrä. Melkein samannäköinen kuin tyhjän joukon merkki mutta pienempi on halkaisijan merkki ⌀ (U+2300).

Teknisesti turvallisin tyhjän joukon merkintätapa ovat aaltosulkeet, sillä ne sisältyvät jo Ascii-merkistöön ja toimivat siis käytännöllisesti katsoen tilanteessa kuin tilanteessa.

Vaihtoehtoinen tyhjän joukon merkki ε on kreikkalainen pienaakkonen epsilon. Unicodessa on myös jokseenkin samannäköinen latinalainen epsilon, viralliselta nimeltään avoin e, jota käytetään muun muassa kansainvälisessä foneettisessa kirjaimistossa (IPA).

Merkki Unicode HTML-viittaus Laajennettu suomalainen näppäimistö Alt-koodi
tunnus nimi lohko
U+2205 tyhjä joukko Matemaattisia operaattoreita[1] ∅
∅
∅
Alt·8709
Ø U+00D8 latinalainen suuraakkonen o ja vinoviiva yli[2] Latinalaisen merkistön täydennys Latin 1:ksi[3] Ø
Ø
Ø
AltGr· Shift·Ö Alt·0216
{ U+007B vasen aaltosulje[2] Latinalainen perusosa[4] {
{
AltGr·7 Alt·0123
} U+007D oikea aaltosulje[2] }
}
AltGr·0 Alt·0125
ε U+03B5 kreikkalainen pienaakkonen epsilon[2] Kreikkalaisia ja koptilaisia merkkejä[5] ε
ε
ε
Alt·0949
ɛ U+025B latinalainen pienaakkonen avoin e IPA-täydennyksiä[6] ɛ
ɛ
Alt·0603

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Mathematical Operators (PDF) The Unicode Standard. 1991–2009. Viitattu 19.9.2010. (englanniksi)
  2. a b c d Eurooppalaisen merkistön merkkien suomenkieliset nimet (HTML) (Suomennos on tehty Suomen Standardisoimisliiton taloudellisella avustuksella, mutta sitä ei ole vahvistettu SFS-standardiksi.) 2004. Helsingin yliopiston yleisen kielitieteen laitos. Viitattu 19.9.2010.
  3. C1 Controls and Latin-1 Supplement (PDF) The Unicode Standard. 1991–2009. Viitattu 19.9.2010. (englanniksi)
  4. C0 Controls and Basic Latin (PDF) The Unicode Standard. 1991–2009. Viitattu 19.9.2010. (englanniksi)
  5. Greek and Coptic (PDF) The Unicode Standard. 1991–2009. Viitattu 19.9.2010. (englanniksi)
  6. IPA Extensions (PDF) The Unicode Standard. 1991–2009. Viitattu 19.9.2010. (englanniksi)
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.