Metrinen avaruus

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä[1][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrinen avaruus on pari , missä on joukko ja kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon alkioilla , ja toteuttaa ehdot

  1. jos ja vain jos
  2. (kolmioepäyhtälö).[2]

Metristä avaruutta kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi , jos käytössä oleva metriikka on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua pisteiden ja väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä jos ja muutoin.
  • Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan .
  • Jokaisessa joukossa tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden ja välinen etäisyys on

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

  • Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos on normiavaruus, niin funktio määrää metriikan joukkoon X.
  • Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuulat ja pallot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon metrinen avaruus, ja . Tällöin joukkoa

kutsutaan avaruuden -keskiseksi -säteiseksi avoimeksi kuulaksi.[2] Toisin sanoen, on niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys pisteestä on aidosti pienempi kuin . Joukkoa kutsutaan myös pisteen kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

ja

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden metriikasta , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä .

Avoin ja suljettu joukko[3][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Avaruuden osajoukko on avoin, jos jokaisella pisteellä on kuulaympäristö siten, että . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään :n topologian, ns. tavallisen topologian ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden topologiaa metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin :n metriikka siten, että .[2]

Joukko on suljettu, jos sen komplementti on avoin. Joukko voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden osajoukkoa sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde , että kaikilla . Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.[2]

Pisteen etäisyys joukosta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden pisteen etäisyys joukosta on lyhin etäisyys pisteestä johonkin joukon pisteeseen, toisin sanoen

.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Royden, H.L.: ”7 Metric Spaces”, Real Analysis, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
  2. a b c d Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 35–36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  3. Royden, H.L.: ”7.2 Open and Closed Sets”, Real Analysis, s. 141–142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
  • Kaleva, Osmo: Reaalianalyysi. opintomoniste 141. Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9.