Metrinen avaruus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä[1][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrinen avaruus on pari , missä on joukko ja kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon alkioilla , ja toteuttaa ehdot

  1. jos ja vain jos
  2. (kolmioepäyhtälö).[2]

Metristä avaruutta kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi , jos käytössä oleva metriikka on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua pisteiden ja väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä jos ja muutoin.
  • Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan .
  • Jokaisessa joukossa tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden ja välinen etäisyys on

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

  • Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos on normiavaruus, niin funktio määrää metriikan joukkoon X.
  • Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuulat ja pallot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon metrinen avaruus, ja . Tällöin joukkoa

kutsutaan avaruuden -keskiseksi -säteiseksi avoimeksi kuulaksi.[2] Toisin sanoen, on niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys pisteestä on aidosti pienempi kuin . Joukkoa kutsutaan myös pisteen kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

ja

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden metriikasta , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä .

Avoin ja suljettu joukko[3][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Avaruuden osajoukko on avoin, jos jokaisella pisteellä on kuulaympäristö siten, että . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään :n topologian, ns. tavallisen topologian ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden topologiaa metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin :n metriikka siten, että .[2]

Joukko on suljettu, jos sen komplementti on avoin. Joukko voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden osajoukkoa sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde , että kaikilla . Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.[2]

Pisteen etäisyys joukosta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden pisteen etäisyys joukosta on lyhin etäisyys pisteestä johonkin joukon pisteeseen, toisin sanoen

.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Royden, H.L.: ”7 Metric Spaces”, Real Analysis, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
  2. a b c d Jussi Väisälä: Topologia II, s. 35-36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  3. Royden, H.L.: ”7.2 Open and Closed Sets”, Real Analysis, s. 141-142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
  • Kaleva, Osmo: Reaalianalyysi. opintomoniste 141. Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9.