Metrinen avaruus
Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.
Määritelmä[1][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Metrinen avaruus on pari , missä on joukko ja kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon alkioilla , ja toteuttaa ehdot
- (kolmioepäyhtälö),
- ,
- , ja
- .[2]
Ehdoista seuraa , sillä (1) (2) .
Kun toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka.
Metristä avaruutta kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi , jos käytössä oleva metriikka on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua pisteiden ja väliseksi etäisyydeksi.
Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä jos ja muutoin.
- Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan .
- Jokaisessa joukossa tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden ja välinen etäisyys on
Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.
- Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos on normiavaruus, niin funktio määrää metriikan joukkoon X.
- Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.
Määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuulat ja pallot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Olkoon metrinen avaruus, ja . Tällöin joukkoa
kutsutaan avaruuden -keskiseksi -säteiseksi avoimeksi kuulaksi.[2] Toisin sanoen, on niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys pisteestä on aidosti pienempi kuin . Joukkoa kutsutaan myös pisteen kuulaympäristöksi.
Vastaavasti määritellään joukot
ja
joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.
On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden metriikasta , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä .
Avoin ja suljettu joukko[3][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Avaruuden osajoukko on avoin, jos jokaisella pisteellä on kuulaympäristö siten, että . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään :n topologian, ns. tavallisen topologian ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden topologiaa metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin :n metriikka siten, että .[2]
Joukko on suljettu, jos sen komplementti on avoin. Joukko voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.
Rajoitettu joukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Metrisen avaruuden osajoukkoa sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde , että kaikilla . Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.[2]
Pisteen etäisyys joukosta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Metrisen avaruuden pisteen etäisyys joukosta on lyhin etäisyys pisteestä johonkin joukon pisteeseen, toisin sanoen
- .[4]
Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.
Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- ↑ Royden, H.L.: ”7 Metric Spaces”, Real Analysis, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
- ↑ a b c d Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 35–36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
- ↑ Royden, H.L.: ”7.2 Open and Closed Sets”, Real Analysis, s. 141–142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
- ↑ Väisälä 2012, 24
Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Metrinen avaruus Wikimedia Commonsissa
Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
- Kaleva, Osmo: Reaalianalyysi. opintomoniste 141. Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9.