Ympyrä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Ympyrä ja sen osia
Osa artikkelisarjaa
Geometria
POV-Ray-Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (keskipisteestä) on tietty positiivinen vakio. Tätä joukkoa kutsutaan myös ympyrän kehäksi tai piiriksi. Jana, joka kulkee keskipisteestä kehälle, on ympyrän säde. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale on pallo.

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.[1]

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella \pi\ \,.

Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän kehän (piirin) pituus p saadaan kaavasta:

 p = 2 \pi r\ , jossa r on ympyrän säde.

Voidaan myös ilmaista säde halkaisijan avulla, eli 2r = d:

 p = \pi d\

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala A saadaan kaavasta:

A = \pi{r^2}\,, missä r on ympyrän säde tai vastaavasti:
A = \frac{\pi}{4}d^2, jossa d on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän halkaisija d ja kehän pituus p tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea (ilman lukua \pi) kaavasta:

A = \frac{pd}{4}

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, on ympyrä sellainen käyrän muoto, joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon p sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja A sen rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin

\frac{p^2}{A}\geq 4\pi

missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

Ympyrän sektori ja kaari[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän sektori tarkoittaa kahden ympyrän säteen rajaamaa ympyrän aluetta.[2]

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla A = \pi{r^2}\,.

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa.[3] Esim. Sektori jakaa ympyrän kaaren kahteen osaan.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla  p = 2 \pi r\ .

Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskipisteen ja säteen avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

r = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\,\!

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

x^2+y^2+ax+by+c=0\,\! , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:
a = -2x_0, b = -2y_0, c = x_0^2 + y_0^2 - r^2 [4]

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

r^2=x^2+y^2\,\!

joka on parametrimuodossa:

\left\{\begin{matrix}x = r\cos{t} \\ y = r\sin{t}\end{matrix}\right.

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

Kolmen pisteen avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään \scriptstyle P_1(x_1,y_1), \scriptstyle P_2(x_2,y_2) ja \scriptstyle P_3(x_3,y_3), voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0, [5]

joka on evaluoituna

a(x^2 + y^2) + b_xx + b_yy + c =0, [5]

missä

a \equiv \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix},

x:n kerroin b_x saadaan matriisista

D=\begin{bmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ \end{bmatrix}

jättämällä x_i termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti b_y:n suhteen) determinantista

b_x= - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}

ja

b_y=\begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & 1 \\ \end{vmatrix},

ja vakiotermi c

c \equiv - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 \\ \end{vmatrix}.

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, [5]

missä keskipisteen koordinaatit ovat

x_0=-\frac{b_x}{2a}

ja

y_0=-\frac{b_y}{2a}

sekä säde

r=\frac{\sqrt{b_x^2+b_y^2-4ac}}{2|a|}. [5]

Ympyrän kulmia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kyki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

Neljä ympyrää[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neljä toisia sivuavaa ympyrää

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

A = (4 - \pi) r^{2},

missä r on kunkin ympyrän säde.[6]

Seitsemän ympyrää[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seitsemän toisia sivuavaa ympyrää

Ympyrä on sikälikin harmoninen kuvio, että sen ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.[7]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Kompleksianalyysi (sivu 13) Viitattu 1.9.2010.
  2. Tammi: Matematiikan teoriakirja Kolmio
  3. Tammi: Matematiikan teoriakirja Kolmio
  4. Yngve Lehtosaari – Jarkko Leino: Matematiikka 10. Lukion laajempi kurssi. 6.1. Ympyrä, s. 152. Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
  5. a b c d Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, Johannes Paasonen, Maija Salmela: Geometria (Pitkä matematiikka). (Tehtävän 224, s. 101, mukaan). WSOY, 2001. ISBN 951-0-24558-5.
  7. Jukka Kangasaho ym. (Tehtävän 249, s. 107, mukaan).


Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]