Hyperbolinen geometria

Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Monien ominaisuuksien puolesta hyperbolisen geometrian "vastakohtana" voidaan pitää pallo- eli elliptistä geometriaa, joilloin euklidinen geometria on näiden kahden väliin jäävä rajatapaus.

Hyperbolinen geometria eroaa monin tavoin perinteisestä euklidisesta geometriasta, joka käsittelee ääretöntä tasaista tasoa. Hyperbolisella pinnalla kolmion kulmien summa on esimerkiksi aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.

Hyperbolinen pinnan voi yleistää myös kahta useampaan ulottuvuuteen.

Yhdensuuntaiset suorat

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet euklidisen geometrian lauseet yhdensuuntaisille suorille eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat $\lVert BP\rVert$ ovat kohtisuorassa eli suoran ja etäisyysjanan välinen kulma on 90°. Hyberpolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.

Kolmiot

Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa pätee yhtälö:

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

missä funktio cosh on hyperbolinen funktio, jonka vastine trigonometriassa on cos-funktio. Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivut "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa Sinilause:

${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}.$

sekä Kosinilause:

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,\,$

tai

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c.$

Erikoistapauksessa kun C on suorakulma, niin kosinilauseesta seuraavat yhtälöt:

$\sin A={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,$

$\cos A={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,$

$\tan A={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}.\,$

Euklidisella tasolla kolmion kulmien summa on aina 180° ( radiaaneissa $\pi$), mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle 180°. Hyperbolisessa geometriassa ideaalikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.

Ympyrät, levyt ja pallot

Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin $2\pi r$, missä $r$ on kyseisen ympyrän säde.

Olkoon $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$, missä $K$ on pinnan Gaussin kaarevuus. Tällöin ympyrän piiri saadaan kaavasta:

$2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}.$

Suljetun kiekon pinta-ala on taas:

$2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.$

Pallon pinta-ala:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

Suljetun kuulan tilavuus:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

(n-1)-ulotteinen pallon mitta:

$\Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}},\,$

missä

$\Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,$

ja $\Gamma \,$ on gammafunktio.

Suljetun n-ulotteisen kuulan mitta:

$\Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}dr\,.$

Historia

Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.

Hyperbolisen geometrian malleja

Hyperbolisessa geometriassa on neljä yleisesti käytettyä mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puoli-taso –malli ja Hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.

Lähteet

• http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf
• http://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/73885/graduGlader2011.pdf?sequence=1 (Arkistoitu – Internet Archive)
• https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/26824/URN%3aNBN%3afi%3ajyu-2011042710685.pdf?sequence=1

Aiheesta muualla

• "The Hyperbolic Geometry Song" Lyhyt video Youtubessa, joka kertoo hyperbolisesta geometriasta
• Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry