Hyperbolinen geometria

Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Hyperbolisen geometrian "vastakohdan" voidaan monien ominaisuuksien puolesta ajatella olevan pallo- eli elliptisen geometrian, euklidisen geometrian jääden rajatapauksena näiden kahden väliin.

Hyperbolinen geometria eroaa perinteisestä, euklidisesta, ääretöntä, tasaista tasoa käsittelevästä geometriasta monin tavoin. Muun muassa kolmion kulmien summa on aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.

Yhdensuuntaiset suorat

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet euklidisessa geometriassa yhdensuuntaisille suorille tunnetut asiat eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat $\lVert BP\rVert$ ovat kohtisuorassa eli suoran ja etäisyysjanan välinen kulma on 90°. Hyberpolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.

Kolmiot

Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa:

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

missä funktio cosh on hyperbolinen funktio, minkä vastine on trigonometriassa cos-funktio. Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa. Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivut "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa Sinilause:

${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}.$

Kosinilause:

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,\,$

tai

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,\,$

erikoistapauksessa kun C on suorakulma, niin silloin

$\sin A={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,$

$\cos A={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,$

$\tan A={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}.\,$

Euklidisissa kolmioissa on kulmien summa π(=180°) radiaaneissa, mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle π. Hyperbolisessa geometriassa ideaalikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.

Ympyrät, levyt ja pallot

Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin 2πr. Se saadaan kaavasta:

$2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.$

Suljetun kiekon pinta-ala on:

$2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.$

Pallon pinta-ala on:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

Suljetun kuulan tilavuus:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

(n-1)-ulotteinen pallon mitta

$\Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}\,$

,missä

$\Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,$

ja $\Gamma \,$ on gammafunktio

Suljetun n-ulotteisen kuulan mitta:

$\Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}dr\,.$

Historia

Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.

Hyperbolisen geometrian malleja

Hyperbolisessa geometriassa on neljä yleisesti käytettyä mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puoli-taso –malli ja Hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.

Lähteet

• http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf
• http://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/73885/graduGlader2011.pdf?sequence=1
• https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/26824/URN%3aNBN%3afi%3ajyu-2011042710685.pdf?sequence=1

Aiheesta muualla

• "The Hyperbolic Geometry Song" Lyhyt video Youtubessa, joka kertoo hyperbolisesta geometriasta
• Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry