Ellipsi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli kertoo kartioleikkauksesta, muut merkitykset sivulla Ellipsi (täsmennyssivu).
Ellipsi
Osa artikkelisarjaa
Geometria
POV-Ray-Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Ellipsi (suomalaisittain yleensä soikio tai joskus myös ovaali) on suljettu toisen asteen käyrä. Ellipsi on myös yksi kartioleikkauksista, niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä on vakio.

Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. Olkoot F1 ja F2 kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason piste X, jonka F1:stä ja F2:sta mitattujen etäisyyksien summalla XF1 + XF2 on vakioarvo. Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon on XF1 + XF2 suurempi kuin pisteiden F1 ja F2 välinen etäisyys.

Pisteitä F1 ja F2 sanotaan ellipsin polttopisteiksi. Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsin akseleiksi. Suoraa AB kutsutaan ellipsin isoakseliksi. Jana a on isoakselin puolikas. Suoraa CD kutsutaan ellipsin pikkuakseliksi. Jana b on pikkuakselin puolikas.

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsin pinta-ala A saadaan kaavasta

A = \pi \cdot ab, missä a ja b ovat ellipsin puoliakseleita.

Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on ympyrä ja pinta-alan lausekkeeksi tulee π·r².

Ellipsin kehän pituutta p ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava on

p = 4\ a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\epsilon^2\sin^2{t}}\;dt,

jossa \epsilon on ellipsin eksentrisyys, sisältää toisen lajin elliptisen integraalin.

Ellipsin yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun ellipsin keskipiste on pisteessä (x0,y0), on sen yhtälö muotoa

\frac{(x-x_0)^2} {a^2} + \frac{(y-y_0)^2} {b^2} = 1\! , jossa a,b\in\mathbb{R}.

Ellipsin yhtälö parametrimuodossa:

\left\{\begin{matrix}x = x_0+a\cos{t} \\ y = y_0+b\sin{t}\end{matrix}\right. , jossa a,b,t,x_0,y_0\in\mathbb{R}.

Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa

A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0\! , jossa A,B,C,D,E,F\in\mathbb{R}.

Kaavoissa a on x-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja b y-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.

Jos a = b = r, kyseessä on ympyrä, jonka säde on r.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]