Elliptinen integraali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Elliptiset integraalit on ovat joukko erikoisfunktioita, jotka tulivat alun perin vastaan laskettaessa ellipsiviivan pituutta. Yleinen elliptinen integraali on muotoa

,

missä on rationaalifunktio ja polynomi, joka on muuttujan suhteen kolmatta tai neljättä astetta, ja jonka kaikki juuret ovat erisuuria. Integraalin alaraja on vakio, tavallisesti nolla. Integraalin yläraja voi olla myös kiinnitetty, jolloin elliptisen integraalin sanotaan olevan täydellinen. Elliptisiä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta niiden arvoja on taulukoitu.

Elliptiset integraalit voidaan kirjoittaa useammalla yhtäpitävällä tavalla. Tässä käytetyistä muodoista ensimmäinen on tavallisin tapa, ns. Legendren muoto. Sitä seuraa yllä olevaa yleistä määritelmää vastaava polynomimuoto. Elliptisten integraalien käänteisfunktioita ovat trigonometrisiä funktioita muistuttavat Jacobin elliptiset funktiot.

Ensimmäisen lajin elliptinen integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuvaajat kahdesta tapauksesta:
ja
.

Epätäydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on muotoa

Tässä esiintyvän muuttujan sanotaan olevan elliptisen integraalin amplitudi ja merkitään

.

Vakiokerroin on puolestaan elliptinen moduuli ja se saa arvoja avoimelta väliltä . Täydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on

Toisen lajin elliptinen integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epätäydellinen toisen lajin elliptinen integraali on

ja vastaavasti täydellinen muoto on

Toisen lajin integraali saadaan tuloksena, jos ellipsin reunaviivan pituutta yritetään laskea.

Kolmannen lajin elliptinen integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epätäydellinen kolmannen lajin elliptinen integraali on

ja täydellinen

Tässä integraalissa esiintyvä vakio on elliptinen karakteristika.

Legendren relaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Täydellisiä ensimmäisen ja toisen lajin elliptisiä integraaleja ja yhdistää nk. Legendren relaatio

.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]