Käänteisfunktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion käänteisfunktiota merkitään . Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee . Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.[1]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio. :n kuvajoukko on kaikkien niiden alkioiden joukko, joille jolloin . Jos on injektio (ehdosta aina seuraa ) on mahdollista määritellä funktio asettamalla :ksi se , jolle . Täten tulee toteuttamaan ehdon kaikilla ja kaikilla .

Funktiota sanotaan funktion käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla . Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio on funktion käänteisfunktio, on samalla myös funktion käänteisfunktio.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen

Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:

f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.

Reaalifunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla yhtälöstä . Esimerkiksi funktion , käänteisfunktioksi saadaan näin , .

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla olisi käänteisfunktio, :n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla , ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa) , , on käänteisfunktio , .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion käänteis­funktio on juurifunktio . Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
  • Eksponenttifunktion käänteis­funktio on logaritmifunktio .
  • Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.

Käänteisfunktion derivaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava

.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 229–230. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.