Käänteisfunktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion f käänteisfunktiota merkitään f-1:llä. Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x. Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio. :n kuvajoukko on kaikkien niiden alkioiden joukko, joille jolloin . Jos on injektio (ehdosta aina seuraa ) on mahdollista määritellä funktio asettamalla :ksi se , jolle . Täten tulee toteuttamaan ehdon kaikilla ja kaikilla .

Funktiota sanotaan funktion käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla . Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio on funktion käänteisfunktio, on samalla myös funktion käänteisfunktio.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen

Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:

f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.

Reaalifunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla yhtälöstä . Esimerkiksi funktion , käänteisfunktioksi saadaan näin , .

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla olisi käänteisfunktio, :n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla , ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa) , , on käänteisfunktio , .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion käänteis­funktio on juurifunktio . Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
  • Eksponenttifunktion käänteis­funktio on logaritmifunktio .
  • Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.

Käänteisfunktion derivaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava

.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.