Logaritmi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Joidenkin logaritmifunktioiden kuvaajat

Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Toisin sanoen luvun logaritmin määrittelee ekvivalenssi

y=\log_a(x) \Leftrightarrow x=a^y.[1]

Luvun x a-kantainen logaritmi \log_a (x) tarkoittaa siis lukua, jonka osoittamaan potenssiin luku a on korotettava, että saataisiin x. Esimerkiksi \log_3(243) = 5, koska 3 ^ 5 = 243.

Eräille logaritmeille on omat merkintänsä. Kymmenkantaisen logaritmifunktion eli Briggsin logaritmin tunnus on lg:

\lg(x) = \log_{10}(x)\,.

Luonnollisen logaritmifunktion, jonka kantalukuna on Neperin luku e, tunnus on ln:

\ln(x) = \log_e(x)\,.

Luonnollinen logaritmi on tärkeä funktio varsinkin differentiaali- ja integraalilaskennassa. Sen merkitys perustuu etenkin siihen, että sen derivaatta on varsin yksinkertainen funktio, 1/x.

Joskus vastaantulevan 2-kantaisen logaritmifunktion tunnus on ld (= logarithmus dualis):

\operatorname{ld}(x) = \log_2(x).

Merkinnän log, jossa kantalukua ei siis ole merkitty näkyviin, merkitys ei ole vakiintunut. Toisaalla se tarkoittaa logaritmia, jonka kantaluku on mielivaltainen. Toisaalla se taas on luonnollisen tai 10-kantaisen logaritmin merkintä. Erityisesti laskimissa näppäin "log" tarkoittaa nimenomaan 10-kantaista logaritmia. Tietojenkäsittelytieteessä ja tietoliikenteessä log tarkoittaa usein 2-kantaista logaritmialähde?.

Logaritmit kehittivät samoihin aikoihin toisistaan riippumatta skotlantilainen John Napier ja sveitsiläinen Jobst Bürgi.

Laskukaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavissa kaavoissa x \in \mathbb{R}_+,a\in\mathbb{R}_+,y\in\mathbb{R}. Logaritmeille on aina voimassa

  • \log_a(a) = 1\,
  • \log_a(1) = 0\,

riippumatta a:n arvosta. Määritelmän perusteella on helppo osoittaa, että

  • a^{\log_a(x)} = x


  • \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\,


  • \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a(x) - \log_a(y)\,


  • \log_a(x^n) = n \log_a(x) \,.

Tarvittaessa myös kantaluku on helppo vaihtaa toiseksi (a:sta b:ksi), sillä

  • \log_a(x) = { \log_b(x) \over \log_b(a) }.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Logaritmeja tarvitaan sellaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jossa eksponentti on tuntematon. Täten niiden avulla voidaan laskea, missä ajassa jokin eksponentiaalisesti kasvava tai vähenevä suure saa tietyn arvon. Sellaisia suureita ovat esimerkiksi korkoa korolle kasvava rahamäärä sekä myös radioaktiivisen aineen jäljellä oleva määrä tietyn ajan kuluttua.

Eri yhteyksissä useita suureita mitataan logaritmisella asteikolla. Esimerkkejä ovat:

Myös musikaalinen sävelasteikko on itse asiassa logaritminen asteikko, sillä sävelkorkeus nousee aina yhden oktaavin, kun äänen taajuus kaksinkertaistuu. Jokaista muutakin intervallia vastaa tietyn suuruinen taajuuksien suhde.

Logaritmitaulukot laskutoimitusten apuvälineenä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ennen taskulaskinten yleistymistä 1970-luvulla logaritmeilla oli noin 300 vuoden ajan ollut suuri merkitys laskutoimitusten apuvälineinä. Tämä käyttö perustui edellä esitettyyn kaavaan, jonka mukaan lukujen tulon logaritmi on sama kuin tekijöiden logaritmien summa:

  • \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\,

Jos siis on käytettävissä taulukko eri lukujen logaritmeista, voidaan täten kerto- ja jakolasku korvata yhteen- ja vähennyslaskulla, jotka ovat suurillakin luvuilla paljon helpompi suorittaa kynällä ja paperilla kuin edelliset. Kertolasku voidaan suorittaa katsomalla taulukosta tekijöiden logaritmit, lasketaan ne yhteen ja katsotaan sitten, minkä luvun logaritmi summa on. Jakolasku taas voidaan suorittaa katsomalla taulukosta jaettavan ja jakajan logaritmit, vähentämällä jälkimmäinen edellisestä ja katsomalla sitten, minkä luvun logaritmi erotus on.

Logaritmitaulukkoja on julkaistu kirjoina, joissa tavallisimmin on lukujen 10000 – 99999 10-kantaiset eli Briggsin logaritmit. Muiden kuin tällä välillä olevien lukujen logaritmit saadaan lisäämällä tai vähentämällä näistä luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa annettu luku on kerrottava tai jaettava 10:llä, jotta tulos olisi tällä välillä. (Esimerkiksi log 200 = log 20000 - 2, koska 10 · 10 · 200 = 20000.)

Myös laskutikku perustuu samoihin logaritmifunktion ominaisuuksiin.

Logaritmeja apuna käyttäen voidaan laskea erilaisia sijoitukseen ja osallistujamäärään perustuvia ranking-piste järjestelmia esimerkiksi turnauspokerissa.[2]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]