Juuri (laskutoimitus)

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli kertoo matematiikan juurioperaatiosta. Muita merkityksiä on täsmennyssivulla.

Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa

,[1]

missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava.

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation notaatio on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Juurifunktio

Nollan juuri on nolla kaikilla n.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu,[2] eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen.[3] Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli

Perusominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

[4]
[4]

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:

  • S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
    • S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
  • origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
  • Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Ron Larson: Elementary Algebra, s. 501. Cengage Learning, 2009. ISBN 9780547102276. (englanniksi)
  2. Soo Tan: Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences, s. 38. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)
  3. Soo Tan: Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences, s. 37. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)
  4. a b Soo Tan: Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences, s. 40. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.