Yksikköjuuri

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Viidennet yksikköjuuret kompleksitasossa
Kolmannet yksikköjuuret kompleksitasossa.

Yksikköjuuri tai ykkösenjuuri on kompleksiluku, joka korotettuna annetun positiivisen kokonaisluvun n osoittamaan potenssiin on 1. Toisin sanoen n:nnet yksikköjuuret ovat yhtälön

z^n = 1

ratkaisuja kompleksilukujen joukossa.

Moivren ja Eulerin kaavat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kutakin positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa n kpl n:siä yksikkö­juuria. Ne sijaitsevat kaikki kompleksitasoon piirretyn yksikköympyrän kehällä ja muodostavat tämän ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärki­pisteet, kun yksi kärki­pisteistä on pisteessä 1. Yksikkö­juurten arvot voidaan esittää muodossa

\cos {\frac {2 \pi}{k}} + i \sin {\frac {2 \pi}{k}}

missä luku k saa kaikki kokonais­luku­arvot 0:sta n-1:een. Tämä seuraa Moivren kaavasta, jonka mukaan

(cos \phi + i sin \phi)^n = cos (n\phi) + i sin (n\phi).

Eulerin kaavan mukaisesti nämä luvut voidaan esittää myös muodossa

e^{\frac {2 \pi i k}{n}} (k=0, 1, .., n-1).

Tavallisesti n:nnellä yksikköjuurella tarkoitetaan näistä luvuista nimenomaan sitä, jossa k = 1, siis lukua

e^{\frac {2 \pi i }{n}}

Sille käytetään myös merkintää \epsilon_n.

Yksikköjuurten avulla voidaan muun muassa ratkaista yleinen binomiyhtälö

z^n = q,

missä q on mielivaltainen kompleksiluku (≠ 0). Kun q voidaan aina esittää muodossa

q = r e^{i \phi},

ovat yhtälön ratkaisut

x = \sqrt[n]{z} e^{\frac{i \phi}{n}} \epsilon_n^k.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi toisen yksikköjuuren arvot ovat 1 ja -1, neljännen 1, i, -1 ja -i, jotka sijaitsevat kompleksi­tasoon piirretyn neliön kärki­pisteissä. Kolmannen yksikkö­juuren (ε3k) arvot ovat
1 sekä \cos \frac{2\pi}{3} \pm i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2},
jotka muodostavat tasa­sivuisen kolmion. Kuudennen yksikkö­juuren (ε6k) vastaavasti
1 ja -1 sekä \pm \cos \frac{2\pi}{3} \pm i \sin{\frac{2\pi}{3}} = \pm \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
, ja kahdeksannen (ε8k)
1, i, -1 ja -i sekä \pm \cos \frac{\pi}{4} \pm i \sin \frac{\pi}{4} = \pm \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta osa 2 korkeakouluja varten, s. 181-182. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0994-0.
  • Olli Lehto: Funktioteoria I-II, s. 8-10. Limes ry, 1975. ISBN 951-745-077-X.