Suora

Geometriassa, topologiassa ja muilla näille rinnasteisilla matematiikan aloilla suora määritellään pisteen ominaisuuksien ja aksioomien avulla.

Jos suora katkaistaan ja toinen puolikas poistetaan, saadaan puolisuora eli säde. Jos puolisuora katkaistaan, saadaan puolisuora ja jana.

Määritelmä

Antiikin määritelmä

Antiikissa suora määriteltiin kahden pisteen ja viivaimen avulla. Valitaan tasolta kaksi pistettä. Eukleideen Alkeissa esitetyn määritelmän mukaan kahden pisteen välille voidaan aina vetää jana tai viiva. Määritelmästä on jäänyt viivain pois, joten sitä ei voi pitää täysin matemaattisena. Määritelmä on pääpiirteissään seuraava:

1. Viiva on leveydetön pituus.
2. Viivan äärirajat ovat pisteitä.
3. Suora viiva on viiva, joka lepää tasaisesti pisteillään.

Puolisuora eli säde piirretään silloin janan AB avulla niin, että janan toista päätä jatketaan samaan suuntaan pisteen C kautta äärettömän pitkälle. Kun sama toistetaan puolisuoran toiseen päähän, saadaan suora. Suora määräytyykin niiden kahden pisteen avulla, joiden kautta se kulkee. Antiikin määritelmässä korostetaan myös abstraktia käsitettä ääretön, joka tarkoitti geometriassa ”jatkamista loputtoman pitkälle”.

Käyrä on suora, jos mitkä tahansa kolme suoran pistettä A, B ja C voidaan liittää kahteen janaan AB ja AC siten, että ne aina yhtyvät osan AB osalta. Toisaalta, suoran leveys on nolla, joten käyrä on suora koko pituudeltaan, jos sen projektio on piste, kun suoraa katsotaan sen kulkusuuntaan. Tämä viimeinen testi on kirvesmiehille tuttu.

Analyyttisen geometrian määritelmä

Jana alkaa yhdestä pisteestä ja päättyy toiseen pisteeseen. Jana koostuu pisteistä, joita on tiheästi alku- ja loppupisteen välissä. Määritelmässä tiheällä tarkoitetaan ominaisuutta, että kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan pisteen väliin voidaan aina lisätä ainakin yksi piste lisää, mistä seuraa taas se, että pisteitä mahtuu pisteiden väliin äärettömästi.

Vaikka yhden pisteen pituus on 0, muodostuu äärettömän monen pisteen janalle ominaisuus pituus. Jana ei kuitenkaan ole leveä tai paksu, koska janalla olevilla pisteillä ei ole itsessään ominaisuutta leveys ja paksuus. Janan ominaisuudet ovat seurausta pisteiden ominaisuuksista ja niiden äärettömästä lukumäärästä.

Kukin janalla oleva piste sijaitsee omassa paikassaan. Paikka voidaan ilmoittaa numeerisesti määrittämällä esimerkiksi pisteen paikan etäisyys janan alkupisteestä. Tämä etäisyys on luku, jota kutsutaan pisteen koordinaatiksi.

Edelliseen tapaan voidaan määritellä myös pisteiden koordinaatit puolisuoralla ja suoralla. Puolisuoran pisteiden koordinaatit ovat esimerkiksi niiden etäisyys puolisuoran alkupisteestä. Suoralta tulee ensin valita piste, josta etäisyydet mitataan. Tätä pistettä kutsutaan origoksi. Pisteen etäisyys origosta on tällöin pisteen koordinaatti. Koska suora voidaan ajatella koostuvan origon molemmilla puolilla olevasta puolisuorasta, tulee koordinaatit olla positiivisia- ja negatiivisia reaalilukuja, riippuen siitä kummalla puolella origoa piste sijaitsee.

Pisteen koordinaatti janalla, puolisuoralla ja suoralla on aina yksi luku. Koska pisteen koordinaatteja tarvitaan vain yksi, sanotaan suoran olevan 1-ulotteinen olio eli sen dimensio on 1. Myös janan ja puolisuoran dimensio on 1. Koordinaattien avulla voidaan suoraa käsitellä numeerisesti esimerkiksi tietokoneella.

Aksiomaattinen määritelmä

Nykyään suorat määritellään joukko-opin avulla käyttäen useita aksioomia, jotka määrittelevät useita ominaisuuksia, joita suoran tulee samanaikaisesti täyttää. Suoran ominaisuuksia kutsutaan aksioomiksi. Aksioomat on kirjoitettu niin, että pisteisiin viitataan isoilla kirjaimilla A, B ja C, ja suoriin pienillä kirjaimilla l ja a, tai pistepareilla esimerkiksi AB.

1. Tasossa on olemassa osajoukkoja, joita kutsutaan suoriksi.
2. Jokaista kahta eri pistettä $A\,$ ja $B\,$ kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora $l\,$ jolla $A\in l$ ja $B\in l$
3. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
4. Suorille on määritelty relaatio välissä: Jos piste $C\,$ on pisteiden $A\,$ ja $B\,$ välissä, niin $A\,$, $B\,$ ja $C\,$ ovat suoran eri pisteitä. Tällöin $C\,$ on myös pisteiden $B\,$ ja $A\,$ välissä.
5. Jos $A\,$ ja $B\,$ ovat eri pisteitä, niin suoralla $AB\,$ on piste $C\,$ siten että $B\,$ on pisteiden $A\,$ ja $C\,$ välissä.
6. (Paschin aksiooma) Olkoon piste $C\,$ suoran $AB\,$ ulkopuolella. Olkoon $a\,$ suora ja $A\not \in a$, $B\not \in a$, $C\not \in a$. Jos $a\,$ leikkaa janan $AB\,$, niin se leikkaa ainakin toisen janoista $AC\,$ ja $BC\,$.

Suora analyyttisessa geometriassa

Suora yksiulotteisessa avaruudessa

Suora täyttää yksiulotteisen avaruuden $\mathbb {R}$ kokonaan, jolloin kaikki avaruuden pisteet ovat suoran pisteitä. Kutakin pistettä vastaa jokin koordinaatti, joka on pisteen etäisyys origoksi valitusta pisteestä. Pisteen koodinaatti on reaaliluku $x$.

Suora kaksiulotteisessa avaruudessa

Kaksiulotteinen avaruus $\mathbb {R} ^{2}$ tarkoittaa ääretöntä tasoa, jonne voidaan sijoittaa suora mielivaltaisesti. Koska suoran pisteet ovat koordinaattipareja $(x,y)$, muodostavat pisteiden koordinaatit relaation. Suoran pisteisiin pääsee käsiksi usealla erilaisella lähestymistavalla.

Kaksiulotteinen parametriesitys

Suora voidaan määritellä kahden pisteen $P_{1}$ ja $P_{2}$ avulla. Suoran mikä tahansa kolmas piste $P$ voidaan ilmaista lausekkeella, jonka ”koordinaattina” on parametri $t$

$P=P_{1}\cdot (1-t)+P_{2}\cdot t=(P_{2}-P_{1})\cdot t+P_{1},\quad t\in \mathbb {R}$

Jos suoran pisteet ovat kaksiulotteisia, saadaan $x-$ ja $y-$koordinaateille parametrimuotoinen esitys

${\begin{cases}x=(x_{2}-x_{1})\cdot t+x_{1}\\y=(y_{2}-y_{1})\cdot t+y_{1}\end{cases}}$ eli ${\begin{cases}x=t\cdot s_{x}+x_{1}\\y=t\cdot s_{y}+y_{1},\quad t\in \mathbb {R} \end{cases}}$

missä $x_{2}-x_{1}=s_{x}$ ja $y_{2}-y_{1}=s_{y}$ ovat kulmakertoimia.

Kaksiulotteinen vektoriesitys suuntavektorin avulla

Sama parametrimuotoinen esitys voidaan ilmaista parametrimuotoisena vektoriesityksenä, jossa pisteet esitetään pystyvektoreilla ${\tbinom {x}{y}}$

${\binom {x}{y}}={\Big [}{\binom {x_{2}}{y_{2}}}-{\binom {x_{1}}{y_{1}}}{\Big ]}\cdot t+{\binom {x_{1}}{y_{1}}},\quad t\in \mathbb {R} .$

Jos merkitään ${\bar {P}}={\binom {x}{y}},$ ${\bar {S}}={\binom {x_{2}}{y_{2}}}-{\binom {x_{1}}{y_{1}}}$ ja ${\bar {A}}={\binom {x_{1}}{y_{1}}}$ saadaan suoran pisteiden vektoriksi ${\bar {P}}$

${\bar {P}}=t\cdot {\bar {S}}+{\bar {A}},\quad t\in \mathbb {R}$

Vektoria ${\bar {S}}$ kutsutaan suuntavektoriksi ja vektori ${\bar {A}}$ on yksi suoran pisteen paikkavektori.

Suora $y={\frac {1}{2}}x+1$ karteesisessa koordinaatistossa. Luku ${\tfrac {1}{2}}$ on suoran kulmakerroin ja luku 1 sen vakiotermi.

Suoran yhtälö

Edellisestä parametrimuotoisesta esityksestä voidaan muodostaa suoran koordinaateille tunnetumpi relaatioesitys. Ratkaistaan luvun $x$ lausekkeesta parametri $t$

$x=(x_{2}-x_{1})\cdot t+x_{1}\Leftrightarrow t={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}},$

joka sijoitetaan y:n lausekkeeseen

$y=(y_{2}-y_{1})\cdot t+y_{1}=(y_{2}-y_{1}){\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}+y_{1},$

eli

$y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1},$ 

jota kutsutaan suoran kahden pisteen esitykseksi pisteillä $(x_{1},y_{1})$ ja $(x_{2},y_{2}).$ Merkitsemällä $k={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ saadaan yksinkertaisempi yhtälö

$y=k(x-x_{1})+y_{1}=kx-kx_{1}+y_{1}=kx+b,$

missä $b=-kx_{1}+y_{1}.$

Tämä on suoran pisteiden $x-$ ja $y-$koordinaattien välinen relaatio $(x,y)=(x,kx+b)$, jota kutsutaan suoran yhtälöksi. Yhtälön tätä muotoa

$y=kx+b$

kutsutaan termillä y:n suhteen ratkaistu muoto. Yhtälössä kerrointa $k$ kutsutaan kulmakertoimeksi ja lukua $b$ vakiotermiksi. Toisaalta mahdollinen on myös

$x=ly+c,$

jota kutsutaan termillä x:n suhteen ratkaistu muoto. Siinä $l$ on kulmakerroin ja $c$ vakiotermi. Jos y:n suhteen ratkaistusta muodosta kirjoitetaankin

$y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}\Leftrightarrow (x_{2}-x_{1})y=(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})+(x_{2}-x_{1})y_{1}\Leftrightarrow$

$(x_{2}-x_{1})y=(y_{2}-y_{1})x-(y_{2}-y_{1})x_{1}+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{1}\Leftrightarrow -(y_{2}-y_{1})x+(x_{2}-x_{1})y+x_{1}y_{2}-{\cancel {x_{1}y_{1}}}-x_{2}y_{1}+{\cancel {x_{1}y_{1}}}=0,$

saadaan yleinen muoto

$ax+by+c=0$

missä $a=-y_{2}+y_{1},$ $b=x_{2}-x_{1}$ ja $c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.$ Kerroin $c$ voidaan kirjoittaa kaksirivisenä determinanttina:

$c={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}$

Kaksiulotteinen vektoriesitys normaalivektorin avulla

Suoran suunta voidaan esittää suuntavektorin asemasta normaalivektorilla, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan eli myös suuntavektoria vastaan. Valitaan suuntavektorin suuntainen erotusvektori ${\bar {P}}-{\bar {A}}={\binom {x}{y}}-{\binom {x_{1}}{y_{1}}}$, jossa ${\bar {A}}$ on yksi suoran pisteiden paikkavektori. Merkitään normaalivektoria $\mathbb {N} ={\binom {a}{b}}$. Silloin nämä ovat kohtisuorassa ja niiden pistetulo on nolla

$({\bar {P}}-{\bar {A}})\cdot {\bar {N}}=0$

eli

${\bigg [}{\binom {x}{y}}-{\binom {x_{1}}{y_{1}}}{\bigg ]}\cdot {\binom {a}{b}}={\binom {x-x_{1}}{y-y_{1}}}\cdot {\binom {a}{b}}=a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0$.

Viimeisestä vaiheessa

$ax-ax_{1}+by-by_{1}=0$

$ax+by-(ax_{1}+by_{1})=0$

missä $c=-(ax_{1}+by_{1})$

$ax+by+c=0$

Normaalivektorin ${\bar {N}}={\binom {a}{b}}$ koordinaatit $a$ ja $b$ ovat suoran normaalimuotoisen yhtälön kertoimet.

Muita suoran muodostamistapoja

Kulmakertoimen avulla

Jos pisteet $A(x_{1},y_{1})$ ja $B(x_{2},y_{2})$ ovat eräät suoran pisteistä, ja suoran yleinen piste merkitään $P(x,y)$, voidaan suoran kulmakerroin ilmaista kahdella tavalla:

${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Suoran yhtälö nollakohtien avulla

Suora voidaan määrittää käyttämällä tietoa siitä, missä suora ja koordinaattiakselit leikkaavat toisensa. Jos näitä leikkauspisteitä merkitään koordinaattipareilla, saadaan suoran ja x-akselin leikkauspisteeksi $(a,0)$ ja vastaavasti y-akselin leikkauspisteeksi $(0,b)$. Mikäli leikkauskohdat ovat muualla kuin origossa, saadaan suoran yhtälöksi

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.$

Suoran yhtälö etäisyydellä origosta

Jos suoralle piirretään origosta korkeusjana ja mitataan korkeusjanan suuntakulma $\alpha$ sekä suoran etäisyys $d$ origosta, voidaan suoran yhtälö ilmaista

$x\cos \alpha +y\sin \alpha =d.$

Suora kolmiulotteisessa avaruudessa

Kolmiulotteisen avaruuden suora voidaan määritellä vektorien avulla. Olkoot ${\bar {P}}_{1}$ ja ${\bar {P}}_{2}$ pisteiden paikkavektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$. Aiemminkin kirjoitettiin

${\bar {P}}=({\bar {P}}_{2}-{\bar {P}}_{1})\cdot t+{\bar {P}}_{1},\quad t\in \mathbb {R} ,$

missä pisteet on korvattu kolmiulotteisilla paikkavektoreilla. Vektorimuotoinen parametriesitys näyttää pystyvektoreilla kirjoitettuna

${\bar {P}}={\Bigg [}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\\end{pmatrix}}{\Bigg ]}\cdot t+{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\\end{pmatrix}},\quad t\in \mathbb {R} .$

Parametrin kertoimena olevaa vektorierotusta

${\bar {S}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\\end{pmatrix}}$

kutsutaan suuntavektoriksi. Suora on suuntavektorinsa kanssa yhdenssuuntainen. Pistettä

${\bar {A}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\\end{pmatrix}}$

kutsutaan paikkavektoriksi. $A$ on eräs suoran pisteistä. Suoran vektoriesitys voidaan ilmaista yksinkertaisemmin

${\bar {P}}=t\cdot {\bar {S}}+{\bar {A}}.\quad t\in \mathbb {R}$

Vektorimuotoisesta parametriesityksestä voidaan siirtyä suoraan parametrimuotoiseen esitykseen

${\begin{cases}x=(x_{2}-x_{1})\cdot t+x_{1}\\y=(y_{2}-y_{1})\cdot t+y_{1}\\z=(z_{2}-z_{1})\cdot t+z_{1},\quad t\in \mathbb {R} \end{cases}}$

Suora voidaan avaruudessa määritellä myös kahden tason leikkauksena.

Lähteet

• Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Weisstein, Eric W.: Line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Line-Line Intersection (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Line-Line Angle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Skew Lines (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.