Matriisi

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan tyypin matriisiksi ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:[1]

Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään tai . Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j.

Tavallisia matriiseja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksikkömatriisi on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla .[1] Tällöin pätee , kun , ja muuten .

[2]

Nollamatriisi on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Neliömatriisilla on yhtä monta riviä ja saraketta.[1]

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia.[1] Matriisille pätee että kun :

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

Transpoosi ja symmetrisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:

jos , niin .

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli .

Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Skalaarilla kertominen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisi kerrotaan skalaarilla siten, että jokainen :n alkio kerrotaan skalaarilla c:

Yhteenlasku[3][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien ja summa on

Kertolasku[4][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisien kertolasku.

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa ja B kokoa . Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa . Nyt missä kukin on matriisin A vaakavektori, ja matriisin B pystyvektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tärkeimmät laskusäännöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille , ja , mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on:

On huomattava, että yleisesti , so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

Determinantti[5][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin determinantti merkitään:

Matriisin alimatriisi saadaan poistamalla matriisista :s vaakarivi ja :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia sanotaan alkion alideterminantiksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin determinantti on

,jossa on eräs :n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

Laskusääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • , jossa A ja B ovat molemmat n n -matriiseja.
  • Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla
  • Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,
  • Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

Determinantin laskeminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

,jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

  1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: .
  2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: .
  3. Kun kerrotaan rivi vakiolla k: .

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Alkion komplementti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

määritellään alkion komplementti eli kofaktori

.

Matriisin adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

.

Determinantin käyttäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliömatriisia sanotaan singulaariseksi, jos . Jos , matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille pätee

ja .

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Matriisit ja lineaarikuvaukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta vastaa tietty kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kantavektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.[6]

Lineaariset yhtälöryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
    :
    :
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla ja -pituisilla vektoreilla ja lyhyesti muodossa :

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliömatriisi on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi siten että ja . Muussa tapauksessa matriisi on singulaarinen. Matriisia kutsutaan matriisin käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla . Säännölliset -matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään . Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä on ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis on neliömatriisi. Matriisin säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori mikä hyvänsä. Mikäli on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi on säännöllinen jos ja vain jos .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Weisstein, Eric W: "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  2. Weisstein, Eric W: "Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  3. Weisstein, Eric W.: "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  4. Weisstein, Eric W.: "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  5. Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  6. Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.: "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]