Symmetrinen matriisi
Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi.[1] Siten A on symmetrinen jos
- ,
jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (aij), on
kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:
Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli
- .
Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:
- Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
- Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
- Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden ortonormaali kanta.
Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 408–409. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).