Vektoriavaruus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Niitä käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.

Määritelmä[1][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kunta (ns. kerroinkunta), V joukko ja kuvaukset ja . Määrittelemme, että kolmikko on vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) jos ja vain jos kuvaukset f ja g toteuttavat ehdot

  1. Kuvaus f on vaihdannainen:

    kaikilla .

  2. Kuvaus f on liitännäinen:

    kaikilla .

  3. Kuvauksen f nollavektori:

    On olemassa , jolle kaikilla .

  4. Vektorin vastavektori:

    Jokaiselle on olemassa , jolle .

  5. Neutraalialkio:

    Kunnan neutraalialkiolle pätee kaikilla .

  6. Osittelulaki:

    kaikilla ja .

  7. Skalaarien summan osittelu:

    kaikilla ja .

  8. Skalaarien tulon osittelu:

    kaikilla ja .

Vektoriavaruuden kuvausta f kutsutaan vektoreiden yhteenlaskuksi ja g skalaarilla kertomiseksi. Ne ovat oletusten nojalla binäärioperaatioita joukossa V. Yleisesti näille binäärioperaatioille käytetään lineaariavaruuksissa merkintöjä

kaikilla ja kaikilla ja .

Mikäli , kyseessä on reaalinen vektoriavaruus ja jos , niin kyseessä on kompleksinen vektoriavaruus[1].

Vektoriavaruus on erikoistapaus modulista. Toisin kuin moduleilla, jokaisella epätriviaalilla vektoriavaruudella on kanta, eli joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lineaarikombinaationa jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista. Usein sovitaan, että tyhjä joukko on triviaalin vektoriavaruuden kanta. Vektoriavaruus on äärellisulotteinen, jos sillä on kanta, jossa on äärellinen määrä vektoreita. Muussa tapauksessa vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Vektoriavaruuden kanta voidaan yleensä valita äärettömän monella eri tavalla, mutta valinnasta riippumatta äärellisulotteisen vektoriavaruuden kannassa on aina yhtä monta vektoria. Myös ääretönulotteisen vektoriavaruuden eri kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Kannan olemassaolo voidaan todistaa Zornin lemman avulla ja yhtämahtavuus ultrafiltterilemman avulla.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kannattaa huomata, että vektoriavaruuden alkiot eivät välttämättä ole järjestettyjä lukujoukkoja, joiksi vektorit usein mielletään, kuten myöskään kerroinkunnan alkiot eivät välttämättä ole lukuja. Vektoriavaruuden alkioina voivat "tavallisten" vektorien sijaan olla yhtä hyvin matriisit tai jopa funktiot. Eräs vektoriavaruus, ns. triviaali vektoriavaruus, on vain nolla-alkiosta koostuva joukko {0}. Tärkeimpia vektoriavaruuksia matematiikassa ovat

  • Euklidinen avaruus skalaarikuntana .
  • Kompleksikertoimisten matriisien avaruus skalaarikuntana .
  • Jonoavaruudet skalaarikuntana .
  • p-integroituvien funktioiden avaruudet skalaarikuntana

Tosin riippuen tapauksesta on myös yleistä käyttää edellä olevissa esimerkeissä skalaarikuntana kompleksilukuja.

Vektorialiavaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektoriavaruuden (V,f,g) osajoukkoa A kutsutaan aliavaruudeksi jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

  1. Joukko A on suljettu yhteenlaskun suhteen:

    kaikilla

  2. Joukko A on suljettu skalaarilla kertomisen suhteen:

    kaikilla ja .

Esimerkiksi vektoriavaruuden aliavaruus on mikä tahansa origon kautta kulkeva suora. Lisäksi esimerkiksi jonoavaruuden eräs aliavaruus on nollaan suppenevien jonojen joukko.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektoriavaruuksiin voidaan liittää lisärakenteena esimerkiksi normi tai sisätulo. Näiden avulla voimme määritellä mm. topologisen struktuurin vektoriavaruuksiin. Topologisista vektoriavaruuksista enemmän artikkeleissa normiavaruus ja sisätuloavaruus.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Rynne, Bryan P. ja Youngson, Martin A.: ”1. Preliminaries”, Linear Functional Analysis, s. 3. Springer, 2000.