Lineaarialgebra

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebra on matematiikan osa-alue, joka tutkii vektoreita, vektoriavaruuksia, lineaarikuvauksia ja lineaarisia yhtälöryhmiä. Vektoriavaruudet ovat nykyisin matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Lineaarialgebraa tarvitaan sekä abstraktissa algebrassa että funktionaalianalyysissä.

Käsitteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektoriavaruuden alkiojoukko on lineaarisesti riippumaton, jos propositio toteutuu vain kun kaikki kertoimet ovat nollia. Jos alkiot eivät ole lineaarisesti riippumattomia, ne ovat lineaarisesti riippuvia.

Alkiojoukko on vektoriavaruuden kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja jokainen :n alkio voidaan esittää kantavektoreiden lineaariyhdisteenä: , missä kertoimet kuuluvat annettuun kuntaan. Lineaarinen riippumattomuus takaa sen, että kertoimet ovat yksikäsitteiset. Kanta on siis vektoriavaruuden minimaalinen virittäjäjoukko.

Eräs kannan sovellutus seuraa välittömästi lineaarioperaattorin tarkastelemisesta. Operaattorin nolla-avaruus eli ydin on :n vektorialiavaruus ja kuva-avaruus puolestaan :n vektorialiavaruus. Jos avaruuksille tunnetaan kannat, voidaan niistä muodostaa (mahdollisesti suppeammat) kannat, jotka ilmaisevat kyseiset aliavaruudet.

Numeerisessa laskennassa käsitellään lähes aina reaalilukuvektoreita, ja nämä ovat tavallisesti tapoja ilmaista yksikäsitteisesti vektoriavaruuden alkioita jonkin kannan suhteen. Huomaa, että itse avaruuksien alkiot voivat olla jotain aivan muuta kuin reaalilukuvektoreita!

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

William Rowan Hamilton.

Modernin lineaarialgebran synty sijoittuu vuoteen 1843, jolloin irlantilainen matemaatikko William Rowan Hamilton löysi kvaterniot. Vuonna 1844 Hermann Grassmann julkaisi kirjansa Die lineare Ausdehnungslehre.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.