Lineaarialgebra

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebra on matematiikan osa-alue, joka tutkii vektoreita, vektoriavaruuksia, lineaarikuvauksia ja lineaarisia yhtälöryhmiä. Vektoriavaruudet ovat nykyisin matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Lineaarialgebraa tarvitaan sekä abstraktissa algebrassa että funktionaalianalyysissä.

Käsitteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektoriavaruuden alkiojoukko \{v_i\}_{i=1}^n on lineaarisesti riippumaton, jos propositio \sum_{i=i}^n c_i v_i = 0 toteutuu vain kun kaikki kertoimet c_i ovat nollia. Jos alkiot eivät ole lineaarisesti riippumattomia, ne ovat lineaarisesti riippuvia.

Alkiojoukko \{v_i\}_{i=1}^n on vektoriavaruuden V kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja jokainen V:n alkio v voidaan esittää kantavektoreiden lineaariyhdisteenä: v = \sum_{i=1}^n c_i v_i, missä kertoimet c_i kuuluvat annettuun kuntaan. Lineaarinen riippumattomuus takaa sen, että kertoimet c_i ovat yksikäsitteiset. Kanta on siis vektoriavaruuden minimaalinen virittäjäjoukko.

Eräs kannan sovellutus seuraa välittömästi lineaarioperaattorin L:V\rightarrow W tarkastelemisesta. Operaattorin nolla-avaruus eli ydin on V:n vektorialiavaruus ja kuva-avaruus puolestaan W:n vektorialiavaruus. Jos avaruuksille V, W tunnetaan kannat, voidaan niistä muodostaa (mahdollisesti suppeammat) kannat, jotka ilmaisevat kyseiset aliavaruudet.

Numeerisessa laskennassa käsitellään lähes aina reaalilukuvektoreita, ja nämä ovat tavallisesti tapoja ilmaista yksikäsitteisesti vektoriavaruuden alkioita jonkin kannan suhteen. Huomaa, että itse avaruuksien alkiot voivat olla jotain aivan muuta kuin reaalilukuvektoreita!

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

William Rowan Hamilton

Modernin lineaarialgebran synty sijoittuu vuoteen 1843, jolloin irlantilainen matemaatikko William Rowan Hamilton löysi kvaterniot. Vuonna 1844 Hermann Grassmann julkaisi kirjansa Die lineare Ausdehnungslehre.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.