Topologia (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matematiikan osa-aluetta. Katso täsmennyssivu muille merkityksille.
Kahvikupin muunnos torukseksi

Topologia on matematiikan alue, joka käsittelee topologisiksi avaruuksiksi kutsuttuja piste­joukkoja ja niiden sellaisia ominaisuuksia, jotka säilyvät homeo­morfis­meissa, toisin sanoen sellaisissa jatkuvissa bijektiivi­sissä kuvauksissa, joiden käänteis­kuvaukset ovat myös jatkuvia.

Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geo­metriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeo­morfis­meissa.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat eli homeo­morfiset, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella". Tästä anekdootti: "Topologi on matemaatikko, joka ei erota kahvikuppia munkkirinkilästä." (John Kelley, In N. Rose, Mathematical Maxims and Minims)

Avoimet joukot ja topologia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian perus­käsitteeksi. Teknisenä terminä topo­logialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa jonkin perus­joukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot:

  • Koko perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen
  • Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet
  • Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset

Tällöin kyseisen kokoelman alkioita sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria topologiseksi avaruudeksi.

Diskreettitopologia ja minitopologia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden X topologiaan kuuluvat ainakin alkiot \emptyset ja X. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös X:n potenssijoukko on eräs X:n topologia, diskreetti topologia. Siten X:n indiskreettitopologia on aina X:n diskreetin topologian osajoukko.

Saman avaruuden topologiat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisesti jos T_1 ja T_2 ovat joukon X kaksi topologiaa ja T_1 \subset T_2, sanotaan että T_1 on karkeampi eli heikompi kuin T_2. Vastaavasti topologia T_2 on hienompi eli vahvempi kuin T_1. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

Metrisen avaruuden topologia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen metrinen avaruus eli joukko, jossa kahden pisteen välille on määritelty etäisyys, metriikka, on samalla topo­loginen avaruus. Tällöin avoimia joukkoja eli perusjoukon topo­logiaan kuuluvia joukkoja ovat ne, joissa joukon jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan kuuluu kyseiseen joukkoon, toisin sanoen jokaista joukon pistettä x kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen luku \epsilon, että jos d (x, y) < \epsilon, niin y kuuluu myös kyseiseen joukkoon. Tällaisten avointen joukkojen muodostamaa topo­logiaa sanotaan kyseisen metriikan määräämäksi topo­logiaksi.

Samassa joukossa voidaan kuitenkin määritellä useita täysin eri metriikkoja, jotka määräävät saman topo­logian. Metriikka sinänsä ei olekaan avaruuden topo­loginen ominaisuus. Toisaalta on olemassa topo­logisia avaruuksia, joiden topologiaa ei voida määrätä minkään metriikan avulla; tällaiset avaruudet eivät ole metristyviä.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaalilukujen joukossa \mathbb{R} nimitetään tavan­­omaiseksi topo­logiaksi metriikan

d(x, y) = | y - x |

määräämää topo­logiaa. Tässä metriikassa siis lukujen tai niitä vastaavien lukusuoran pisteiden etäisyys on yksin­kertaisesti niiden etäisyyden itseisarvo. Tällöin avoimia joukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit sekä joukot, jotka saadaan tällaisten yhdisteinä. Vastaavasti jokaisessa euklidisessa avaruudessa \mathbb{R^n} tavanomaiseksi topo­logiaksi nimitetään luonnollisen metriikan

d ((x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n)) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + ... + (y_n - x_n)^2}

määräämää topologiaa.

Näissä tapauksissa kaikki avointen joukkojen avulla määri­teltävät topo­logiset käsitteet kuten kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo osoittautuvat yhtä­pitäväksi sen kanssa, miten vastaavat käsitteet voidaan määritellä lukujen erotuksen tai avaruuden pisteiden etäisyyden avulla.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraali­laskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosi­sadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikke­leissaan topo­logian alaan kuuluvia kysymyksiä.[1][2]

Järjestelmällisesti topo­logiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla. Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906. Topologisen avaruuden käsitteen määritteli peri­aatteessa ensimmäisenä F. Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi. Yleisemmän topo­logisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisä­ehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimier Kuratowski vuonna 1922.

Käsitteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eräitä topologian alaan kuuluvia erityiskysymyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Michael H. Hart: Ihmiskunnan 100 suurinta, Maailmanhistorian sata merkittävintä henkilöä tärkeysjärjestyksessä, s. 386. Suom. Risto Mäenpää. Artefakti, 1979. ISBN 951-99229-1-1.
  2. David Bergamini: Lukujen maailma, s. 188. Suom. Pertti Jotuni. Sanoma Osakeyhtiö, 1972.