Polkuyhtenäisyys

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Polkuyhtenäisyys on matemaattinen termi. Se on topologinen käsite vastaavasti kuin yhtenäisyyskin on. Polkuyhtenäinen avaruus on sellainen topologinen avaruus, jossa avaruuden mitä tahansa pistepareja voidaan yhdistää polulla kyseisessä avaruudessa . Matematiikassa polku on jatkuva kuvaus suljetulta väliltä avaruuteen .

Polkuyhtenäisyyden määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polku yhdistää pisteet ja , joita sanotaan maaliavaruudessa polun päätepisteiksi. Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää polulla avaruudessa .

Lauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polkuyhtenäisyys vs. yhtenäisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. Yhtenäistä avaruutta ei voida jakaa kahteen erilliseen, epätyhjään, avoimeen osajoukkoon. Polkuyhtenäisyys on vahvempi avaruuden ominaisuus kuin yhtenäisyys. Polkuyhtenäisyydestä välttämättä seuraa heti yhtenäisyys.

"Havaijilaiset korvarenkaat" ovat polkuyhtenäinen joukko.
Topologin sinikäyrä on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voi yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin.

Yhtenäinen avaruus ei aina ole polkuyhtenäinen. On avaruuksia, jotka ovat kyllä yhtenäisiä, mutta eivät ole kuitenkaan polkuyhtenäisiä. Sellainen on esimerkiksi topologin sinikäyrä, jonka muodostavat origo sekä funktion kuvaajan y-akselin oikealla puolella oleva osa.

Jatkuva kuvaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polkuyhtenäisyys on topologinen ominaisuus, joka säilyy jatkuvissa kuvauksissa. Jotkut avaruuksien ominaisuuksista eivät muutu lainkaan jatkuvassa kuvauksessa.

Polkuyhtenäinen ympäristö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polkuyhtenäisessä avaruudessa on sellainen ominaisuus, että sen jokaisella pisteellä on polkuyhtenäinen ympäristö .

Väli on polkuyhtenäinen. Silloin jokaisella kyseisen välin pisteellä on olemassa polkuyhtenäinen ympäristö . Ympäristö on topologiassa määritelty avoimeksi joukoksi.

Lisäesimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polkuyhtenäinen avaruus "Kampa" koostuu seuraavista osajoukoista: y-akselilta väli , x-akselilta väli sekä x-akselin suuntaiset janat , kun n on luonnollinen luku ja

"Kampa" on polkuyhtenäinen avaruus











Suljettu väli on polkuyhtenäinen osajoukko.

Yksiö ei ole polkuyhtenäinen. Se on yhtenäinen avaruuden osajoukko.

ei ole polkuyhtenäinen, eikä yhtenäinen. Se on epäyhtenäinen avaruuden osajoukko.

Avaruus on yhtenäinen, mutta ei ole polkuyhtenäinen.

Muutetaan vähän äskeisen esimerkin avaruutta :

Avaruus on yhtenäinen ja erityisesti se on polkuyhtenäinen.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhtenäisyys

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
  • Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2004.
  • Väisälä, Jussi: Topologia II. Helsinki: Limes ry, 2005.
  • Saksankielinen Wikipedian sivu: "Zusammenhang". http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhang_(Topologie)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]