Paraabeli

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Ylöspäin aukeava paraabeli.

Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ, vanh. myös parabeli[1]) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.[2]

Geometrinen määritelmä ja nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteiden etäisyydet ovat yhtä suuria polttopisteeseen ja johtosuoralle .
Paraabeli on eräs kartioleikkauksista.

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.[3]

Paraabeli analyyttisessä geometriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pystysuora symmetria-akseli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa . Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos , aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas , aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin huippupisteen x-koordinaatti on

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

Vaakasuora symmetria-akseli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö . Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.[3]

Yleinen paraabeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on ja jonka johtosuora on muotoa , pätee yhtälö

Paraabeli funktion kuvaajana[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on . Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion parametrit ja .

Parametri vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella :lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella :lla varustetun alaspäin.

Parametri vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion kuvaajan huippupiste siirtyy :n vaihdellessa funktion kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin huippupisteen koordinaatit ja toteuttavat yhtälön

ja ovat siis funktion kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan paraabelia , missä .

Pisteen kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos , ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

Kun yo. yhtälön juurrettava saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun , missä , on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä



Paraabelien akrobatiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan paraabelia , , ja sen peilaamista huippupisteen kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin -akselin suhteen. Tämä vaihtaa -koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin , jonka huippu on pisteessä .

(2) Siirretään näin saatua paraabelia pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan . Tämä on selvää, koska huippupisteen -koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta -koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

eli

.

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin .

Esimerkki. Paraabelin peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis .

Paraabelin "kääntämisen" kaava on siis: .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Väisälä, Kalle: Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2, pidempi kurssi. WSOY, 1966.
  2. Kivelä, Simo K.: Kartioleikkaukset Matta: Simo Kivelä. Viitattu 15.1.2016.
  3. a b Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]