Normaali (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kohtisuoruus merkitään kuvioon kulmakaarella, jonka sisällä on piste tai pienellä neliöllä.

Normaali on geometriassa vektori tai suora, joka leikkaa tasossa kohtisuorasti toista janaa, suoraa, vektoria tai käyrää vasten, taikka tilassa myös tasoa tai pintaa vasten. Tasogeometriassa suoran, janan tai vektorin normaali on toinen suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tätä vasten. Jos kohteena on mutkitteleva käyrä, on normaali kohtisuorassa tässä kohdassa olevaa käyrän tangenttia vasten. Avaruusgeometriassa suorien, janojen ja vektorien normaali määritellään samoin kuin tasogeometriassa. Tilassa voi vielä esiintyä tasoja, joiden normaali on suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan katsottiinpa sitä tasossa miltä suunnalta hyvänsä. Tällöin normaali on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tila-avaruudessa mutkittelevan pinnan normaali on kohtisuorassa pinnan tangenttitasoa vasten. [1][2][3][4]

Kuvioissa kahden kohtisuorasti kohtaavan objektin väliin piirretään pieni neliö taikka kulmakaari, jonka sisälle merkitään piste. Tekstissä kohtisuoruus voidaan esittää objektien tunnusten väliin sijoitettavalla kohtisuoruussymbolilla. Seuraavassa esimerkissä a ja b ovat suoria, \bar v ja \bar u vektoreita, AB ja AC janoja, f on käyrä, T on taso ja P on pinta. Silloin voidaan edellisen esityksen mukaisesti merkitä esimerkiksi

a \perp b, \bar v \perp \bar u, a \perp \bar v, AB \perp AC, a \perp AB, a \perp f, \bar v \perp f

tai avaruusgeometriassa edellisten lisäksi myös vektorin kanssa esitettynä

\bar v \perp f, \bar v \perp T, \bar v \perp P [5]

ja janalla ja suoralla vastaavalla tavalla.

Tasogeometriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorat ja janat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden suoran leikatessa toisensa kohtisuorasti, ovat molemmat suorat toistensa normaaleja.[6] Koska suorien leikkauskohdassa olevat neljä kulmaa ovat toisilleen vieruskulmat ja ristikulmat, ovat ne kaikki 90°.[7][8][1]

Normaalit voidaan aina piirtää käyttäen konstruktiivista menetelmää viivaimella ja harpilla.[5][9] Jos tasolta, jossa kulkee jo suora, osoitetaan piste, voidaan tämän pisteen kautta aina piirtää suoralle normaali. Jos piste on annetulla suoralla, piirretään harpilla pisteen ympärille ensin ympyrä. Ympyrän ja suoran leikkauspisteistä piirretään ympyrän halkaisijan pituisella säteellä kaksi puoliympyrää niin, että nämä leikkaavat toisensa. Puoliympyröiden leikkauspisteistä vedetään suoralle normaali. Sama voidaan tehdä myös silloin, kun piste sijaitsee sivussa annetusta suorasta. Ensin piirretään riittävän pitkällä säteellä harpin avulla kaari, joka leikkaa suoraa kahdessa leikkauspisteessä. Leikkauspisteistä piirretään leikkauspisteiden välin pituisella säteellä kaksi puoliympyrän kaarta, joiden leikkauspisteiden kautta vedetään suoralle normaali.[1]

Kahden suoran avulla, jotka leikkaavat toisensa muuten kuin kohtisuorasti, voidaan muodostaa uudet suorat, jotka ovat kohtisuorat. Koska ristikulmien kulmanpuolittajat muodostavat aina yhteisen suoran, voidaan kahden leikkaavan suoran molemmista ristikulmaparista muodostaa kaksi keskenään leikkaavaa suoraa. Näiden kulmanpuolittajasuorien välinen kulma on suorakulma, koska vieruskulmiensa (α + β = 180°) puolikkaina ne muodostavat välillensä suoran kulman (α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 90°).[1]

Janalle voidaan konstruoida normaali vastaavalla tavalla. Lähtien ulkopuolisesta tai janalla olevasta pisteestä, voidaan määrätä normaali samalla tavalla. Jos jana on lyhyt, voidaan sitä aina jatkaa viivaimella, jotta piirrokset ovat riittävän laajat. Janalle voidaan muodostaa myös keskinormaali, joka kulkee janan keskipisteen kautta.[10][11][12] Janan normaalin jokaisen pisteen etäisyydet janan kummastakin päätepisteestä ovat aina samat.[13]

Jos janana on ympyrän säde, voidaan sen kehäpisteeseen piirtää tangentti, joka on aina ympyrän säteen normaali. Kolmion korkeusjana on sen kannan normaalin suuruinen, joka piirretään kulkemaan huipun kautta.[14][15] Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat toisensa normaalien suuntaiset.[16]

Analyyttinen geometria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoran normaalin kulmakerroin voidaan päätellä suoran kulmakertoimesta. Sinisen suoran kulmakerroin on -2, joten punaisen normaalin kulmakerroin saadaan kn = -1/(-2) = 1/2.

Jokaisella vaakasuoralla y = a on normaalina pystysuora x = b, joissa luvut a ja b ovat vapaasti valittavina, ja päinvastoin.[17]

Jos annettu vinosti kulkeva suora esitetään yhtälöllä

ax+by+c=0 \Leftrightarrow y=-\tfrac{a}{b} x - \tfrac{c}{b} \Leftrightarrow y = kx + s

ja on sen kulmakerroin k=-\tfrac{a}{b}. Normaalin yhtälön kulmakertoimeksi k_n tulee silloin

k_n=-\frac{1}{k}=-(-\frac{b}{a})=\frac{b}{a}. [17]

Ehdokkaita normaaliksi on äärettömän monia, sillä suoralta on vielä valittava se piste, jonka kautta normaali kulkee. Jos valittu piste on (x_0,y_0), saadaan yhtälöksi

y-y_0=k_n(x-x_0) \Leftrightarrow y=k_nx-k_nx_0+y_0 \Leftrightarrow

.

bx-ay+(ay_0-bx_0)=0 \Leftrightarrow bx -ay +d=0.

Vektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen suoran yhtälön, eli normaalimuotoisen suoran yhtälön, normaalivektori voidaan muodostaa yhtälön kertoimista

ax+by+c=0 \Rightarrow \bar n = a \bar i + b \bar j .

Merkitään vektoria \bar v = a \bar i + b \bar j = \binom{a}{b} ja \bar u = c \bar i + d \bar j = \binom{c}{d}. Vektorit \bar v ja \bar u ovat toistensa normaalivektoreita eli \bar v \bot \bar u , jos

\bar v \cdot \bar u = \binom{a}{b} \cdot \binom{c}{d} = |a||b| \cos 90^\circ = 0.

Tämä pistetulon nollasääntö on hyvä vektoreiden kohtisuoruustesti.[17][18][7]

Funktion kuvaajan normaalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Punaisen funktion kuvaajalle pisteeseen M on piirretty sininen tangentti T [19], jota leikkaa pisteessä M vihreä normaali N.

Funktion kuvaajalle voidaan piirtää kohtaan a normaali, joka on kohtisuorassa kuvaajan samaan kohtaan piirrettyä tangentia vastaan. Tangentin kulmakerroin k_t kohdassa a saadaan funktion derivaatan arvosta koyseisessä kohdassa. Normaalin kulmakerroin k_n määräytyy samalla tavalla kuin suorillakin eli

k_t=f'(a) \Leftrightarrow k_n= -\frac{1}{k_t} = -\frac{1}{f'(a)}. [20][21]

Normaalin yhtälö pisteessä (a,f(a)), missä derivaatta on olemassa muttei ole arvoltaan nolla, on

y-f(a)= -\frac{1}{f'(a)}(x-a). [17] [20][21]

Jos derivaattaa ei siinä kohdassa ole olemassa, on normaalin yhtälö x=f(a). Jos derivaatta on nolla, tulee normaalin yhtälöksi ottaa pystysuora x = a. [17][22]

Tason käyrät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän normaali on säteen suuntainen, koska ympyrän tangentti on sädettä kohtisuorassa ja normaali tangenttia kohtisuorassa.[23]

Avaruusgeometriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasot yleisesti ja analyyttisessä geometriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tila-avaruudessa esitettävä taso voi olla äärettömän monessa asennossa ja kohdassa, joten tasolle voidaan asettaa normaalisuora, -jana tai -vektori äärettömän moneen kohtaan. Lukuisista sijoitusvaihtoehdoista huolimatta samalla puolella tasoa olevat normaalivektorit osittavat aina samaan suuntaan, kun tason vastakkaisella puolella olevat normaalivektorit osittavat vastakkaiseen suuntaan. Molemmilla vektoreilla voidaan suunnata normaalisuorat, jotka ovat keskenään yhdensuuntaiset.

Tasolle sijoitettava normaali tulee olla kohtisuorassa kaikkien tasonsuuntaisten vektorien kanssa. Riittää kuitenkin valita kaksi tasonsuuntaista vektoria (esimerkiksi \bar v ja \bar u), jotka ovat keskenään erisuuntaiset, ja normaali \bar n voidaan määrittää näiden avulla käyttäen pistetuloa

\bar n \cdot \bar v = \bar n \cdot \bar u =0. [24][25]

Tason yhtälö voidaan muodostaa vektoreilla käyttäen normaalivektoria \bar n. Valitaan tasolta piste P, jonka avulla muut tason pisteet Q ilmoitetaan. Tasoehto sisältää pistetulon, jossa normaalivektori kerrotaan paikkavektoreiden erotuksella

0 = (\bar Q - \bar P) \cdot \bar n = \bar Q \cdot \bar n - \bar P \cdot \bar n = \begin{pmatrix} x \\ y \\  z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A \\ B \\  C \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\  p_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A \\ B \\  C \end{pmatrix}

.

 = Ax + By + Cz - (Ap_x + Bp_y + Cp_z) = Ax + By + Cz + D = 0. [26]

Tason yhtälön muuttujien kertoimet A, B ja C ovat siten normaalinvektorin komponentteja.

Yleiset pinnat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tilassa mutkittelevan pinnan eri kohtien tangenttitasot ovat eri asennoissa. Tason normaalit, jotka ovat samalla myös pinnan normaalivektorit, ovat siten myös eri asennoissa. Jos esimerkiksi kaksiulotteinen pinta P mutkittelee kolmiulotteisessa avaruudessa, voidaan se joissakin tapauksissa esittää yhtälöllä z = f(x,y). Tämän pinnan normaali pisteessä (x_0,y_0) voidaan laskea osittaisderivaatoilla

\bar n = \begin{pmatrix} f_x(x_0,y_0) \\ f_y(x_0,y_0) \\  -1 \end{pmatrix},

missä f_x = \frac{\partial f}{\partial x} ja f_y = \frac{\partial f}{\partial y}. [25][27][28]

Vektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuten tasossakin, kaksi vektoria \bar v = a \bar i + b \bar j + c \bar k = \begin{pmatrix} a \\ b \\  c \end{pmatrix} ja \bar u = d \bar i + e \bar j + f \bar k = \begin{pmatrix} d \\ e \\  f \end{pmatrix} ovat kohtisuorassa eli \bar v \bot \bar u , kun

\bar v \cdot \bar u = \begin{pmatrix} a \\ b \\  c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\  f \end{pmatrix} = ad + be + cf = 0. [17]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.15-17
  2. Seppänen, Raimo et al.: Maol, s.42
  3. Seppänen, Raimo et al.: Maol, s.46
  4. Weisstein, Eric W.: Right Angle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. a b Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.8
  6. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.31-33
  7. a b Weisstein, Eric W.: Perpendicular (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Weisstein, Eric W.: Orthogonal lines (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.38
  10. Weisstein, Eric W.: Perpendicular Bisectort (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.27-28
  12. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.75
  13. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.76
  14. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.32
  15. Weisstein, Eric W.: Orthogonal foot (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  16. Weisstein, Eric W.: Catethus (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  17. a b c d e f Seppänen, Raimo et al.: Maol
  18. Weisstein, Eric W.: Perpendicular Vector (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  19. Weisstein, Eric W.: Tangent line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  20. a b Internetix: Tangentti ja normaali
  21. a b Internetix: 2.3 Käyrän tangentti ja normaali
  22. Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  23. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.74
  24. Kivelä: Normaali
  25. a b Weisstein, Eric W.: Normaalivektori (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  26. Petäys, Vesa: Taso
  27. Weisstein, Eric W.: Surface (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  28. Weisstein, Eric W.: Tangent plane (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)