Tangentti (geometria)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Ympyrän tangentti on kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan.
Ympyrän kehäpisteeseen piirrettävän tangentin piirto-ohje.
Ulkopuolisesta pisteestä ympyrää sivuavien tangenttien piirto-ohje.

Tangentti, eli vanhalta nimeltään sivuaja [1], on geometriassa suora, jana tai taso, joka sivuaa (yksi yhteinen piste) samansuuntaisena käyrää tai pintaa. Tasogeometriassa tangenttina on tangenttisuora, joka sivuaa käyrää. Avaruusgeometriassa tangenttina voi olla suora tai tangenttipinta, joka sivuaa (kappaleen) pintaa.[2][3][4]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Antiikin kreikassa tangenttien ongelmaa käsiteltiin kartioleikkauksissa laajalti. Ensimmäinen moderni tangentin määritelmä esitettiin vasta keskiajan lopulla: tangentti on suora, joka koskettaa käyrää mutta ei leikkaa sitä. Pierre de Fermat keksi differentiaalilaskennassa jyrkkyyden käsitteen ja ilmaisi sen käyrän tangentilla. Ajatusta kehittivät eteenpäin muun muassa John Wallis, Isaac Barrow, Isaac Newton ja Gottfried Leibniz. Leibniz ajatteli tangentin olevan sekantti, jonka kaksi leikkauspistettä sijaitsivat äärettömän lähellä toisiaan.[5]

Tangentin nimi tulee latinan sanasta "tangere", joka tarkoittaa verbiä koskettaa.[6]

Tangentti geometriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun suora kohtaa geometrisen kuvion, syntyy usein yksi tai useampi leikkauspiste. Suoran kohdatessa ympyrän voi leikkauspisteitä olla kaksi, kun suora leikkaa ympyrän sekanttina, yksi kun suora sivuaa ympyrää tangenttina, tai ei yhtään, jos suora ohittaa ympyrän kauempaa. Näitä tapahtumia pidetään erilaisina kohtaamisina, vaikka 1800-luvulla alettiin tangenttia pitää sekantin erikoistapauksena. Tangentissa sekantin kaksi leikkauspistettä olivat "yhtyneet äärettömän lähelle toisiaan".[7][8]

Ympyrän tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän tangentti määritellään siten, että suoralla ja ympyrällä on vain yksi yhteinen piste, jota kutsutaan sivuamispisteeksi. Tangentti piirretään harpilla ja viivoittimella asemoimalla se kohtisuoraan ympyrän sädettä vastaan. Tangentti on siten säteen normaali, joka kulkee säteen pituuden etäisyydellä ympyrän keskipisteestä. Lisäksi voidaan osoittaa, että ympyrän kehän mielivaltaiseen pisteeseen voidaan piirtää tasan yksi tangentti.[1][4][9]

Ympyrän kehäpisteeseen piirretään tangentti harpilla ja viivoittimella seuraavasti. Piirretään viivoittimella kehäpisteen ja keskipisteen välille jana, joka on ympyrän säde. Sivuamispiste keskipisteenä pyöräytetään samansäteinen ympyrä, johon piirretään halkaisija jatkamalla sädettä. Tällä halkaisijalla mitataan harppiin uusi säde, jolla piirretään sivuamispiste keskipisteenä toisensa leikkaavat puoliympyrät. Näiden leikkauspisteiden kautta piirretään viivaimella suora, joka on tangentti koska se sivuaa ympyrää.

Lähtemällä ympyrän ulkopuolisesta pisteestä liikkeelle, voidaan ympyrälle piirtää kaksi tangenttia. Tangenttien välistä kulmaa kutsutaan tangenttikulmaksi.[10] Ympyrän ja tangenttien väliset sivuamispisteet löydetään harpilla ja viivoittimella Thaleen lausetta hyödyntäen. Vedetään ympyrän keskipisteen ja ympyrän ulkopuolisen pisteen välille jana. Otetaan harppiin matka, joka on yli puolet janan pituudesta ja merkitään toisensa leikkaavat puoliympyrät janan keskiosaan ympyrän keskipiste ja ulkopuolinen piste keskipisteenä. Vedetään jana puoliympyröiden leikkauspisteiden kautta. Janat leikkaavat toisensa pisteessä, joka on ensimmäisen janan keskipisteessä. Kun tämän pisteen kautta piirtää ympyrän, jonka halkaisija on viimeksi mainittu jana, leikkaa se referenssiympyrän kahdessa pisteessä. Leikkauspisteet ovat tangenttien sivuamispisteet. Tämä näkee Thaleen lauseen avulla: ympyrän kehäpisteen (sivuamispiste) kautta kulkevat referenssiympyrän säde ja ulkopuolisesta pisteestä tuleva suora (tangentti), jotka ovat suorassa kulmassa toisiinsa. Siksi suora on ympyrän tangentti.

Ellipsin tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsin sivuamispisteeseen piirretyn tangentin ja polttopisteistä sivuamispisteeseen piirrettyjen janojen väliset kulmat ovat molemmat samat. Koska tangentin normaali on kohtisuorassa tangenttiin nähden, on myös edellä mainittujen janojen ja normaalin väliset kulmat samat. Voidaan sanoa, että normaali puolittaa janojen välisen kulman. Tangentti voidaan piirtää seuraavasti. Yhdistetään polttopisteet sivuamispisteeseen janoilla, joiden välinen kulma puolitetaan janalla (normaali). Tälle janalle piirretään kohtisuora janan ja ellipsin leikkauspisteeseen, joka on haluttu tangentti.[11][12]

Ellipsin ison akselin jatkeelta voidaan piirtää tangentti ellipsille. Merkitään ison akselin jatkeelta jokin piste ja piirretään ellipsin ympäri ympyrä säteenään iso akseli. Ympyrän kehältä määritetään tangentin sivuamispiste, josta piirretään kohtisuora isolle akselille. Kohtisuora leikkaa ellipsin pisteessä, joka yhdistää ison akselin pisteen ellipsin tangentilla.

Paraabelin tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Paraabelille voidaan piirtää kaksi tangenttia pisteestä, joka sijaitsee käyrän kuperan puolen ulkopuolella. Piste yhdistetään aluksi paraabelin polttopisteeseen janalla, joka on samalla ympyrän halkaisija. Paraabelille piirretään sen huippupisteeseen symmetria-akselin normaali, jonka leikkauspisteet ympyrän kanssa merkitään. Ensimmäisen pisteen ja leikkauspisteiden kautta piirretään kaksi suoraa. Molemmat suorat ovat paraabelin tangentteja.[13]

Hyperbelin tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbelille voidaan piirtää tangentti seuraavasrti. Valitaan käyrältä piste, johon tangentti halutaan. Kummastakin hyperbelin polttopisteestä piirretään pisteen kautta kulkevat puolisuorat. Puolisuorat vastaavat valonsädettä, joka alkaa lähimmästä polttopisteestä ja heijastuu hyperbelin käyrältä. Heijastuminen edellyttää käyrän normaalia, jonka suhteen tulo- ja heijastuskulmat ovat yhtä suuret. Tämä normaali on kohtisuorassa käyrän tangentia vastaan. Tangentti saadaankin normaalista, joka on tulevan- ja heijastuvan säteiden kulmanpuolittaja.[14][15]

Käyrän tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matemattikassa käsitellään muitakin käyriä kuin kartioleikkauksia. Nämä ovat syntyneet analyyttisistä funktioista ja esitetään eri tyyppisinä kuvaajina.

  • sekantin raja-asento [10]

Funktion kuvaajat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Perinteisen yhden muuttujan funktion F(x) kuvaaja piirretään xy-koordinaatistoon merkitsemällä siihen pisteet (x,y)=(x,F(x)). Funktion lauseke voidaan tällöin esittää implisiittisessä muodossa. Tällaisten käyrien jyrkkyyttä ilmaistaan tangentilla, joka piirretään käyrän pisteeseen asentoon, jossa suoran kulmakerroin on funktion derivaatta k = F^\prime(x) x-koordinaatin osoittamassa kohdassa.[16][17]

Jos funktio on derivoituva kyseisessä kohdassa, voidaan tangentin yhtälö kirjoittaa

y-y_0=F^\prime(x_0) (x-x_0).[18]

Mikäli funktion y=F(x) käyrän koordinaatit esitetään parametriesityksenä (esimerkkinä tasoavaruus)

\begin{cases}
    x = f(t) \\
    y = g(t), \; t \in \mathbb{R}
\end{cases}

määritetään tangentin kulmakertoimen derivaatta

k = F^\prime(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)}

Yleensä funktion tangentti sivuaa käyrää, koska käyrän kaarevuus jatkuu samanlaisena sivuamispisteen molemmilla puolilla. Jos käyrän kaarevuussuunta vaihtuu sivuamispisteessä päinvastaiseksi, ollaan käyrän käännepisteessä. Tällainen suora ei ole varsinainen sivuava tangentti, mutta sillä on kaikki muut tangenttien ominaisuudet.

Parametrimuotoiset tasokäyrät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Parametrimuotoinen esitystapa mahdollistaa funktioiden käyrien lisäksi myös monen muuntyyppisten käyrien esittämisen. Käyrän kuvaajan pohjana on koordinaatisto, jossa käyrän pisteiden koordinaatit ilmaistaan funktioilla. Kunkin koordinaatin muutosnopeus on tangenttisuoran suuntavektorin \vec s komponentin kertoimena, jolloin tangentin suunta voidaan määrittää (esimerkkinä tila-avaruus)

\begin{cases}
    x = f(t) \\
    y = g(t)\\
    z = h(t), \; t \in \mathbb{R}
\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}
    s_x = \frac{dx}{dt} = f^\prime(t) \\
    s_y = \frac{dy}{dt} = g^\prime(t)\\
    s_z = \frac{dz}{dt} = h^\prime(t), \; t \in \mathbb{R}
\end{cases}

Tangentin yhtälö parametrin arvolla t=a on silloin

\begin{cases}
    x = f(a) + r\cdot s_x \\
    y = g(a) + r\cdot s_y \\
    z = h(a) + r\cdot s_z , \; r \in \mathbb{R}
\end{cases} [19]

Tangenttipinnat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos tila-avaruudessa on pinta, joka voidaan esittää esimerkiksi muodossa z = f(x,y), voidaan sille asettaa pisteeseen (x_0,x_0) tangenttotaso, jonka yhtälö on yleisessä muodossa z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0). [3]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kontkanen, Pekka et al.: Pyramidi 7 - Derivaatta. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2006. ISBN 978-951-26-5401-7.
  • Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.32
  2. Weisstein, Eric W.: Tangent Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Weisstein, Eric W.: Tangent Plane (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.33
  5. Kontkanen, Pekka et al.: Derivaatta, Tammi, 2006, s.7-9
  6. Hogben, Lancelot: Matematiikkaa kaikille, s. 162-172. Suom. Niini, Risto. Porvoo: Werner Söderström OY, 1945.
  7. Weisstein, Eric W.: Secant Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 120-121. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
  9. Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto.
  10. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.84-90
  11. Wells, David: The Penquin..., s.66
  12. Weisstein, Eric W.: Ellipse Tangent (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  13. Wells, David: The Penquin..., s.169-172
  14. Wells, David: The Penquin..., s.108
  15. Weisstein, Eric W.: Hyperbola (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  16. Kontkanen, Pekka et al.: Derivaatta, Tammi, 2006, s.10-11
  17. Kontkanen, Pekka et al.: Derivaatta, Tammi, 2006, s.123-126
  18. Kontkanen, Pekka et al.: Derivaatta, Tammi, 2006, s.141-147
  19. Paul's Online Math Notes: Tangents with Parametric Equations