Käännepiste

Yhtälön y = x³ kuvaaja, jolla on käännepiste origossa.

Käännepiste on käyrän piste, jossa sen kaarevuussuunta vaihtuu. Käyrä on joko käännepisteen vasemmalla puolella ylöspäin kupera ja oikealla alaspäin kupera tai päinvastoin. Jos käyrä on jonkin kahdesti derivoituvan funktion $y=f(x)$ kuvaaja, sen toisen derivaatan etumerkki vaihtuu käännepisteessä.

Vaihtoehtoisesti käännepiste voidaan määritellä myös pisteeksi, johon piirretty käyrän tangentti lävistää käyrän.

Jos funktio $y=f(x)$ on jatkuva ja sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat, välttämätön ehto sille, että piste on käännepiste, on että sen toinen derivaatta tässä pisteessä on nolla. Tämä ei kuitenkaan ole riittävä ehto, sillä esimerkiksi myös funktion $y=x^{4}$ toinen derivaatta on nolla origossa, mutta sillä ei ole käännepistettä. Käännepiste edellyttääkin, että kertaluvultaan alin derivaatta, joka ei ole nolla, on paritonta kertalukua. Niinpä esimerkiksi potenssifunktion $y=x^{n}$ kuvaajalla on käännepiste origossa vain, jos n on pariton.

Kolmannen asteen polynomi, jonka käännepiste on merkitty.

Yhtälön y = x⁴ – x kuvaaja sekä tangentti pisteessä (0,0), joka ei ole käännepiste.

Sininen ja vihreä tangentti esiintyy käyrän siinä osassa, joka kaareutuu ja punainen tangentti pisteissä, jossa kaareutuminen muuttuu.

Aiheesta muualla

• Neljännen asteen polynomien käännepisteet
• Matemaattista tietoa käännepisteistä

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).