Konsyklisyys

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pistejoukon kautta kulkeva ympyrä.
Pisteparin A ja F kautta on piirretty punainen keskinormaali, joka leikkaa ympyrän keskipisteessä pisteparien F ja E sinisen keskinormaalin ja pisteparien B ja C vihreän keskinormaalin.

Konsyklisyys tarkoittaa geometriassa pistejoukon ominaisuutta, että joukon kaikkien pisteiden kautta voidaan piirtää yhteinen ympyrä.[1] Koska pistejoukon pisteiden kautta voidaan piirtää monikulmio, sanotaan myös monikulmion olevan konsyklinen. Ympyrää kutsutaan tällöin monikulmion ympäri kulkevaksi ympyräksi.[2] Sana sykli tulee kreikan sanasta kuklos, mikä merkitsee ympyrää tai pyörää.

Konsyklisen ympyrän keskipiste, ja siten myös säteen pituus, voidaan määrittää kahdella eri ympyrän säteen kautta kulkevalla suoralla. Kahden konsyksisen pisteen keskinormaali kulkee aina säteen kautta. Kaksi erisuuntaista, säteen kautta kulkevaa suoraa, leikkaavat aina ympyrän keskipisteessä.

Avaruusgeometriassa voidaan muodostaa ympyrä, jonka kehän pisteet ovat samassa tasossa. Ympyrä on siksi kaksiulotteinen kuvio, toisin kuin pallo, joka on kolmiulotteinen, ja se voidaan määritellä kolmannessa ulottuvuudessa myös kolmen epäkollineaarisen pisteen avulla.[3]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä, joten ne ovat aina konsyklisiä.[2]

Nelikulmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelikulmiot eivät aina ole konsyklisiä eli jännenelikulmioita. Jos nelikulmion \scriptstyle \Box ABCD kulmat nimetään vastapäivään kiertäen, on konsyklisyydelle riittävä ehto, että \scriptstyle \angle A + \angle C = 180^\circ ja \scriptstyle \angle B + \angle D = 180^\circ.[2][4]

Toinen nelikulmion konsyklisyysehto saadaan sivujen pituuksien ja lävistäjien avulla (Ptolemaioksen lause):

AB \cdot CD + AD \cdot BC = AD \cdot BD. [5][6]

Kolmas konsyklisyyden ehto käyttää nelikulmion kärkiä vapaasti. Valitaan parit AB ja CD ja vedetään niiden kautta suorat. Mikäli pisteet A, B, C ja D sekä suorien leikkauspiste P toteuttavat ehdon

AP \cdot BP = CP \cdot DP,

ovat neljä pistettä syklisiä (pisteen potenssi).[7]

Muut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konsyklisillä monikulmioilla voi olla kuinka monta kulmaa tahansa, mutta kaikki monikulmiot eivät ole konsyklisiä.[8][9] Erityisesti säännölliset monikulmiot ovat aina konsyklisiä.[10]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: Concyclic (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.19
  3. Weisstein, Eric W.: Coplanar (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.89
  5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.20
  6. Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste) http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 25.9.2013.
  8. Weisstein, Eric W.: Cyclic Pentagon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Cyclic Hexagon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.91-93