Ympyrän keskipiste
Ympyrän keskipiste on geometriassa tason piste, joka on säteeksi kutsutun etäisyyden päässä ympyrän kehän pisteistä. Eräissä yhteyksissä ympyräksi kutsutaan ympyrän kehää [1][2][3] ja toisissa taas ympyrän kehän sisäosia eli ympyräkiekkoa.[4][5][6] Harvemmin katsotaan kehän kuuluvan osana ympyräkiekkoa.[7] Ympyrän keskipiste on osa kiekkoa ja osa ympyrää siten näissä tulkinnoissa. Keskipiste tulitaan tämän ympyrälevyn keskukseksi.
Keskipisteen määritys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Keskipisteen konstruoiminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kolmen pisteen kautta, jotka ovat konsyklisiä, voidaan piirtää ympyrä. Keskipisteen paikka voidaan löytää käyttäen vain harppia ja viivainta. Keskipiste löydetään muodostamalla pisteiden avulla piirretyn kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste.[8][9]
Ympyrän yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Tasogeometriassa ympyrän, eli sen kehän, yhtälössä keskipisteen O koordinaatit näkyvät suoraan . Avaruusgeometriassa ympyrän yhtälö kirjoitetaan ja sen keskipisteen koordinaatit ovat .
Kolme koordinaattipistettä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään ja , voidaan pisteiden kautta piirretyn ympyrän keskipiste ilmaista
ja
missä kertoimet lasketaan determinanteilla
ja
sekä
Merkillinen piste[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on yksi Eulerin suoralla olevista kolmion merkillisistä pisteistä.[10][11]
Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 14.4.2013).
- Kurittu, Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
- Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.3
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.67
- ↑ Weisstein, Eric W.: Circle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.5
- ↑ Weisstein, Eric W.: Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Open Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Closed Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.98
- ↑ a b c d e Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118
- ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25