Bipyramidi

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Säännöllisten suorien bipyramidien joukko
Kuusikulmainen bipyramidi
Coxeterin diagrammi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel n.pngCDel node.png
Schläflin symboli { } + {n}[1]
Tahkoja 2n kolmiota
Särmiä 3n
Kärkiä 2 + n
Sivukonfiguraatio V4.4.n
Symmetriaryhmä Diedrinen kolmiulotteinen symmetria Dnh, [n,2], (*n22), kertalukua 4n
Rotaatioryhmä Dn, [n,2]+, (n22), kertalukua 2n
Duaalikappale n-kulmainen särmiö
Ominaisuudet kupera, tahkotransitiivinen
Verkko n-kulmainen bipyramidi­verkko, tässä esimerkki­tapauksessa viisi­kulmainen bipyramidi
Juomapilleistä ja kuminauhasta tehty bipyramidi. Siihen on lisätty ylimääräinen akselin suuntainen pilli, jota ei ole yksinkertaisissa monitahokkaissa.

n-kulmainen bipyramidi, dipyramidi eli kaksoispyramidi[2] on monitahokas, joka saadaan yhdistämällä n-kulmainen pyramidi ja sen peilikuva pohjat vastakkain.[3]selvennä n-kulmaisella bipyramidilla on 2n kolmion muotoista tahkoa, 3n särmää ja 2 + n kärkeä.

Se n-kulmio, johon bipyramidin nimessä viitataan, ei ole mikään sen sivutahkoista vaan alkuperäisten pyramidien pohja, joka bipyramidia muodostettaessa jää sen sisään yhdistäen molemmat pyramidit toisiinsa ja on samalla bipyramidin symmetriataso.

Särmiöiden duaalikappaleet ovat bipyramideja.[4]

Bipyramidin muodostavien pyramidien huippuja sanotaan bipyramidin apekseiksi.

Suorat, vinot ja koverat bipyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoralla bipyramidilla on kaksi kärkipistettä suoraan pohjan keskipisteen ylä- ja alapuolella. Bipyramideja, jotka eivät ole suoria, sanotaan vinoiksi bipyramideiksi. Säännöllisen bipyramidin pohja on säännöllinen monikulmio, ja usein edellytetään lisäksi, että se on myös suora bipyramidi. Suora bipyramidi voidaan esittää muodossa { } + P sisäiselle monikulmiolle P ja säännöllinen n-bipyramidi muodossa { } + {n}.

Kovera bipyramidi on bipyramidi, jonka pohjana oleva monikulmio on kovera.

Kovera bipyramidi

Säännöllinen bipyramidi on tahkotransitiivinen, jos se on jonkin uniformisen särmiön duaalikappale. Sellaisen sivutahkot ovat yleensä tasakylkisiä kolmiota.

Bipyramidin projektio pallopinnalla on kuvio, jonka muodostavat, jos pallo ajatellaan karttapalloksi, tasavälein n navalta navalle johtavaa pituuspiiriä sekä päiväntasaaja.

Bipyramidin tahkot projisoituina pallokolmioiksi esittävät perusalueita diedrisessä symmetriassa Dnh. Itse asiassa n-kulmaista bipyramidia voidaan pitää vastaavan n-kulmaisen diedrin kleetooppina.

Tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bipyramidin tilavuus on , missä B on pohjan pinta-ala ja h korkeus mitattuna pohjasta apeksiin.[3] Tämä pitää paikkansa, sijaitsipa apeksi missä tahansa, kunhan h on mitattu kohtisuorasti siihen tasoon nähden, jolla pohja on.

Jos bipyramidin pohja on säännöllinen n-sivuinen monikulmio, jonka sivu on s, ja bipyramidin korkeus on h, sen tilavuus on

[3]

Tasasivuisten kolmioiden muodostamat bipyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

On vain kolmenlaisia bipyramideja, joiden kaikki särmät ovat yhtä pitkät ja tahkot näin ollen tasasivuisia kolmiota. Tällaiset bipyramidit ovat deltaedrejä.[4] Sellaisia ovat:

Tetragonaalinen bipyramidi, jonka kaikki särmät ovat yhtä pitkät, on sama kuin säännöllinen oktaedri, joka on samalla yksi Platonin kappaleista. Triangulaarinen ja pentagonaalinen bipyramidi taas kuuluvat Johnsonin kappaleisiin (J12 ja J13).[3]

Triangular dipyramid.png Octahedron.svg Pentagonal dipyramid.png
Triangulaarinen bipyramidi Tetragonaalinen bipyramidi
(oktaedri)
Pentagonaalinen bipyramidi

Kalideskooppinen symmetria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos bipyramidin pohja on monikulmio ja apeksit yhdistävä jana leikkaa pohjan sen keskipisteessä, n-kulmaisen bipyramidin symmetria on diedrinen symmetria Dnh kertalukua 4n, paitsi säännöllisen oktaedrin tapauksessa, jolla on laajempi oktaedrinen symmetriaryhmä Oh kertalukua 48, jolla on aliryhminään kolme versiota ryhmästä D4h. Tällaisen bipyramidin rotaatioryhmä on Dn kertalukua 2n, paitsi säännöllisellä oktaedrilla, jolla on laajempi symmetriaryhmä O, kertalukua 24, jolla on aliryhminään kolme versiota ryhmästä D4.

Pallopinnan 2n-bipyramidin kaksikulmaiset sivut esittävät kolmiulotteisen avaruuden diedrisen symmetrian perusalueita:Dnh, [n,2], (*n22), kertalukua 4n. Seuraavissa kuvissa nämä on jaettu kahtia niin, että toistensa peilikuvina olevat alueet ovat eri värisiä.

D1h D2h D3h D4h D5h D6h ...
Spherical digonal bipyramid2.svg Spherical square bipyramid2.svg Spherical hexagonal bipyramid2.png Spherical octagonal bipyramid2.png Spherical decagonal bipyramid2.png Spherical dodecagonal bipyramid2.png

Suorat säännölliset bipyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bipyramidien perhe
Monitahokas Triangular bipyramid.png Square bipyramid.png Pentagonale bipiramide.png Hexagonale bipiramide.png Heptagonal bipyramid.png Octagonal bipyramid.png Enneagonal bipyramid.png Decagonal bipyramid.png
Coxeter CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node f1.png6pxCDel node f1.pngCDel 10.pngCDel node.png
Laatoitus Spherical digonal bipyramid.svg Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid.svg Spherical pentagonal bipyramid.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid.png Spherical enneagonal bipyramid.png Spherical decagonal bipyramid.png
Konfiguraatio V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4

Asymmetriset suorat bipyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Asymmetrinen suora bipyramidi kostuu kahdesta pyramidista, joilla on yhteinen pohja mutta eri korkeus. Nämä pyramidit saattavat olla pohjan samalla puolellakin, jolloin bipyramidia sanotaan invertoiduksi. Säännöllisen n-kulmaisen asymmetrisen suoran pyramidin symmetriaryhmä on Cnv, kertalukua 2n. Asymmetrisen pyramidin duaalikappale on katkaistu kartio.

Kuusikulmainen asymmetrinen ja inveroitu bipyramidi
Asymmetrinen Invertoitu
Asymmetric hexagonal bipyramid.png Inverted asymmetric hexagonal bipyramid.png

Skalenoedri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Skalenoedri on topologisesti 2n-sivuisen bipyramidin kaltainen, mutta sen sivutahkoina olevat kolmiot eivät ole tasakylkisiä.[5]

Skalenoedreja on kahta tyyppiä. Ensimmäisesä tyypissä 2n kärjestä puolet on keskipisteen kautta kulkevan tason toisella puolella (yläpuolella), puolet toisella (alapuolella). Toisessa tyypissä kaikki nämä kärjet ovat samalla tasolla, mutta vuorotellen eri etäisyyksillä keskipisteestä.

Ensinmainitulla on rotaatioakselit särmien puolivälissä sivuillaan, kärkien kautta kulkevat symmetriatasot ja n-kertainen pyörähdyssymmetria akselinsa suhteen, jolloin sen symmetriaryhmä on Dnd, [2+,2n], (2*n), kertalukua 2n. Kristallografiassa esiintyy 8- ja 12-sivuisia skalenoedreja.[6] Kaikki nämä muodot ovat isoedrejä.

Toisen tyypin skalenoedrilla on symmetriaryhmä Dn, [2,n], (*nn2), kertalukua 2n. Se on rombinen bipyramidi.

Pienimmällä skalenoedrilla on 8 tahkoa, ja se on topologisesti säännöllisen oktaedrin kaltainen. Sen kärkipisteet voidaan esittää muodossa (0,0,±1), (±1,0,z), (0,±1,−z), missä z on jokin 0:n ja 1:n välillä oleva vakio. Jos tämä vakio on z = 0, kyseessä on säännöllinen oktaedri. Jos taas vakio on 1, tuloksena saadaan disfenoidi, jonka samassa tasossa olevat tahkot yhtyvät. Jos z > 1, kappale ei ole kupera.


4-skalenoedrin geometriset muunnelmat
z = 0.1 z = 0.25 z = 0.5 z = 0.95 z = 1.5
4-scalenohedron-01.png 4-scalenohedron-025.png 4-scalenohedron-05.png 4-scalenohedron-095.png 4-scalenohedron-15.png

Tähtibipyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

On olemassa myös itsensä leikkaavia bipyramideja, joiden keskuskuviona on tähtimonikulmio. Sellaisten tahkot ovat kolmioita, jotka yhdistävät yhdistävät kunkin monikulmion sivut näihin kahteen pisteeseen. Bipyramidin {p/q} Coxeterin diagrammi on CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.png.

5/2 7/2 7/3 8/3 9/2 9/4 10/3 11/2 11/3 11/4 11/5 12/5
Pentagram Dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
7-2 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
7-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
8-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
9-2 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
9-4 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
10-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
11-2 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
11-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
11-4 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
11-5 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png
12-5 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 12.pngCDel rat.pngCDel 6.pngCDel node.png

Isoedriedrisiä tähtimäisiä bipyramideja, joilla on parillinen määrä sivuja, voidaan tehdä myös käyttämällä pohjana "sik-sak-monikulmioista", joiden kaikki sivut eivät ole samassa tasossa, samoin kuin isotoksista tähtimonikulmiota, joiden sakarat ovat eri pituiset mutta joiden kaikki sivut sakaran kärjestä toisen sakaran kärkeen mitattuina ovat yhtä pitkät, tai myös monikulmioita, joilla on nämä molemmat ominaisuudet, esimerkiksi seuraavissa esimerkeissä, joissa pohjamonikulmion Schläflin symboli on {8/3}:

Säännöllinen Sik-sak, säännöllinen Isotoksinen Sik-sak, isotoksinen
8-3 dipyramid.png 8-3-bipyramid zigzag.png 8-3-bipyramid-inout.png 8-3-dipyramid zigzag inout.png

Korkeammat ulottuvuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bipyramidit 4-polytooppien soluina[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monitahokkaiden vastineita neljässä tai useammassa ulottuvuudessa ovat polytoopit. Kun mikä tahansa kupera 4-polytooppi suoritetaan, näin saadun polytoopin duaali on solutransitiivinen 4-polytooppi, jonka solut ovat kolmiulotteisia bipyramideja. Seuraavassa käytetään bipyramidin apeksikärjelle merkintää A ja ekvaattorilla olevalle kärjelle merkintää E. esimerkissä bipyramidin apeksikärki on A ja ekvaattorikärki E. Oletetaan lisäksi, että ekvaattorilla kahden vierekkäisen kärjen välinen etäisyys on EE = 1, apeksin ja ekvaattorin välisen särmän pituus AE ja apeksien välinen etäisyys AA. Käytetään 4-polytoopin sellaisten kärkien lukumäärälle, jossa NA bipyramidia kohtaavat toisensa, merkintää VA, ja sellaisten kärkien lukumäärälle, joissa NE bipyramidin tyyppiä E olevat kärjet kohtaavat, merkintää VE. Jokaisella tyypin AE särmällä kohtaa toisensa yhtä monta bipyramidia; käytetään tälle lukumäärälle merkintää NAE. Vastaavasti jokaisella tyypin EE särmällä kohtaa toisensa yhtä monta bipyramidia; käytetään tälle lukumäärälle merkintää NEE. Olkoon CEE särmää EE vastaavan diedrikulman kosini. Koska solujen on mahduttava särmän ympärille, on:

ja
  • .


4-polytooppien ominaisuuksia Bipyramidien ominaisuuksia
Minkä duaali Coxeterin
diagrammi
Solut VA VE NA NE NAE NEE Solu Coxeterin
diagrammi
AA AE** CAE CEE
Suoristettu 5-solu CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 5 5 4 6 3 3 Kolmikulmainen bipyramidi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0.667
Suoritettu tesserakti CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 32 16 8 4 12 3 4 Kolmikulmainen bipyramidi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0.624
Suoristettu 24-solu CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 96 24 24 8 12 4 3 Kolmikulmainen bipyramidi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0.745
Suoristettu 120-solu CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 1200 600 120 4 30 3 5 Kolmikulmainen pyramidi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0.613
Suoristettu 16-solu CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 24* 8 16 6 6 3 3 Neliöpohjainen bipyramidi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png 1
Suoristettu kuutiollinen hunajakenno CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 6 12 3 4 Neliöpohjainen bipyramidi (oktaedri) CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png 1 0.866 0
Suoristettu 600-solu CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 720 120 600 12 6 3 3 Viisikulmainen bipyramidi CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png 1.447
* Suoristettu 16-solu on sama kuin säännöllinen 24-solu, ja sen kaikki särmät ovat yhtenevät   oktaedrit ovat säännöllisiä bipyramideja.
** Ilmoitettu lukuarvona, koska tarkan arvon ilmaiset kaavat ovat jokseenkin monimutkaisia.

Useampiulotteiset bipyramidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisesti bipyramidia voidaan pitää n-polytooppina, joka konstruoidaan lähtemällä hypertasolla olevasta n − 1)-polytoopista sekä kahdesta hypertason ulkopuolella sen eri puolilla olevasta pisteestä, jotka ovat kohtisuorasti mitattuina samalla etäisyydellä hypertasosta. Jos (n − 1)-polytooppi on säännöllinen polytooppi, kaikki muodostuvan bipyramidin rajoina olevat (n − 1)-solut ovat yhteneviä. Esimerkkinä voidaan mainita 16-solu, joka on oktaedrinen bipyramidi, ja yleisemmin n-ortopleksi, joka on (n − 1)-ortopleksinen bypyramidi.

Kaksiulotteinen bipyramidi on neljäkäs tai erikoistapauksessa neliö.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Bipyramid

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Anthony Pugh: ”Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms”, Polyhedra: A visual approach. Berkeley: University of California Press, 1976. ISBN 0-520-03056-7.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. N. W. Johnson: ”Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c”, Geometries and Transformations. {{{Julkaisija}}}, 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.
  2. Deltaedrit matematiikkalehtisolmu.fi. Viitattu 8.2.2019.
  3. a b c d Dipyramid Wolfam MathWorld. Eric Weisstein. Viitattu 8.2.2019.
  4. a b Pyramids, Dipyramids and Trapezohedra georgehart.com. Viitattu 8.2.2019.
  5. The 48 Special Crystal Forms: Scalenohedra and Trapezohedra web.archive.org. Viitattu 8.2.2019.
  6. Crystal Form, Zones, Crystal Habit Tulane.edu. Viitattu 8.2.2019.