Alternoiva ryhmä

Alternoiva ryhmä on ryhmäteoriassa äärellisen joukon parillisten permutaatioiden ryhmä. Permutaatio on parillinen, jos se saavutetaan parillisella määrällä transpositioita, kun lähdetään peruspermutaatiosta. Jos permutaatio saavutetaan parittomalla määrällä transpositioita, on se pariton. Kun permutaatiossa kaksi lukua vaihdetaan keskenään niin tehdään transpositio. Joukon {1, ..., n} alternoivaa ryhmää kutsutaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryhmäksi ja sitä merkitään A_n tai Alt(n).

Esimerkiksi astetta neljä oleva alternoiva ryhmä on A₄ = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Esimerkin alternoivassa ryhmässä A₄ syklinen merkintätapa (123) tarkoittaa, että alkio 1 kuvautuu alkiolle 2, alkio 2 kuvautuu alkiolle 3, alkio 3 kuvautuu alkiolle 1 ja alkio 4 kuvautuu itselleen. Uusi permutaatio on nyt (2314). Peruspermutaatio (1234) saadaan kahdella transpositiolla (2314) → (2134) → (1234). (123) on siis parillinen permutaatio.

Perusominaisuuksia

Kun n > 1, ryhmä A_n on symmetrisen ryhmän normaali aliryhmä, jonka indeksi on 2 ja jossa on siten n!/2 alkiota. Se on homomorfismin sgn : S_n → {1, −1} ydin.

Ryhmä A_n on Abelin ryhmä, jos ja vain jos n ≤ 3, ja yksinkertainen, jos ja vain jos n = 3 tai n ≥ 5 . A₅ on pienin ei-kommutatiivinen yksinkertainen ryhmä. Sen kertaluku on 60 ja se on pienin ei-ratkeava ryhmä.

Automorfismiryhmä

Kun n > 3 paitsi n = 6, A_n:n automorfismiryhmä on symmetrinen ryhmä S_n sisäisenä automorfismiryhmänään A_n ja ulkoisena automorfismiryhmänään Z₂.

Kun n = 1 tai 2, on automorfismiryhmä triviaali. Kun n = 3, automorfismiryhmä on Z₂, sisäinen automorfismiryhmä on triviaali ja ulkoinen automorfismiryhmä Z₂.

A₆:n ulkoinen automorfismiryhmä on Z₂². Ylimääräinen A₆:n ulkoinen automorfismi vaihtaa 3-syklit (kuten (123)) 3²-tyyppisiksi sykleiksi (kuten (123)(456)).

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.