Catalanin kappale

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Triakis-tetraedri, pentagonaalinen ikositetraedri ja disdyakis-triakontaedri. Näistä ensimmäistä voidaan luonnehtia pienimpänä ja viimeistä suurimpana Catalanin kappaleista.
Ylemmässä kuvassa näkyvät Catalanin kappaleet (tummat), joiden päälle on sijoitettu niiden duaalikappaleet (vaaleat). Catalanin kappaleiden näkyvät osat ovat säännöllisiä pyramideja.
Rombidodekaedri ja sen tahko­konfiguraatio. Merkintä V3.4.3.4 tarkoittaa, että kappaleen jokainen tahko rajoittuu neljään kärkeen, joista joka toisessa kohtaa kolme, joka toisessa taas neljä tahkoa.

Catalanin kappaleet eli Arkhimedeen duaalit[1] ovat avaruusgeometriassa Arkhimedeen kappaleiden duaalikappaleita. Samoin kuin Arkhimedeen kappaleita, on myös Catalanin kappaleita olemassa 13 erilaista. Ne ovat saaneet nimensä belgialaisen matemaatikko Eugène Catalanin mukaan, joka ensimmäisenä kuvaili ne vuonna 1862.[2]

Yhteisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaikki Catalanin kappaleet ovat kuperia. Ne ovat tahko­transitiivisia, mutta eivät kärki­transitiivisia, toisin sanoen ne voidaan kuvata yhtenevyys­kuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kappaleen tahkoista voidaan kuvata mille tahansa toiselle, mutta mitä tahansa niiden kärjistä ei voida kuvata mille tahansa toiselle. Tämä aiheutuu siitä, että niiden duaali­kappaleet, Arkhimedeen kappaleet, ovat kärki­transitiivisia mutta eivät tahko­transitiivisia. Toisin kuin sekä Platonin että Arkhimedeen kappaleilla, Catalanin kappaleiden tahkot eivät ole sännöllisiä moni­kulmioita. Niiden kärkikuviot, jotka saadaan leikkaamalla jostakin kärjestä pala pois, ovat kuitenkin säännöllisiä moni­kulmioita, ja niistä jokaisen kaikki diedrikulmat ovat yhtä suuria.[3] Tahko­transi­tiivi­suu­tensa vuoksi Catalanin kappaleet ovat isoedrejä.[4]

Kaksi Catalanin kappaleista, rombidodekaedri ja rombinen triakontaedri, on lisäksi särmä­transitiivisia eli ne voidaan kuvata yhtenevyys­kuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä kuvautuu mille tahansa toiselle. Nämä ovat kvasi­säännöllisten Arkhimedeen kappaleiden duaali­kappaleet.

Samoin kuin prismoja ja antiprismoja ei yleensä pidetä Arkhimedeen kappaleina, ei myöskään niiden duaali­kappaleita, bipyramideja ja trapetso­edreja yleensä pidetä Catalanin kappaleina, vaikka nekin ovat tahko­transitiivisia.

Kaksi Catalanin kappaleita on kiraalisia eli ne eivät ole identtisiä peilikuvansa kanssa: pentagonaalinen ikositetraedri ja pentagonaalinen heksekontaedri. Ne ovat kiraalisten Arkhimedeen kappaleiden, pullistetun kuution ja pullistetun dodekaedrin duaali­kappaleet. Niillä on kaksi muotoa, enantiomorfia, jotka ovat toistensa peilikuvia samaan tapaan kuin ihmisen oikea ja vasen käsi.[5][6] Jos enantomorfeja, bipyramideja ja trapetsoedreja ei oteta huomioon, erilaisia Catalanin kappaleita on kaikkiaan 13.

Arkhimedeen ja vastaavat Catalanin kappaleet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

n Arkhimedeen kappale Catalanin kappale[2]
1 typistetty tetraedri triakis-tetraedri
2 typistetty kuutio triakis-oktaedi
3 typistetty kuboktaedri disdyakis-dodekaedri
4 typistetty oktaedri tetrakis-heksaedri
5 typistetty dodekaedri triakis-ikosaedri
6 typistetty ikosidodekaedri disdyakis-triakontaedri
7 typistetty ikosaedri pentakis-dodekaedri
8 kuboktaedri rombidodekaedri
9 ikosidodekaedri rombinen triakontaedri
10 rombikuboktaedri deltoidaalinen ikositetraedri
11 rombikosidodekaedri deltoidaalinen heksekontaedri
12 pullistettu kuutio pentagonaalinen ikositetraedri
13 pullistettu dodekaedri pentagonaalinen heksekontaedri

Symmetria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Duaalikappaleidensa eli Arkhimedeen kappaleiden tavoin Catalanin kappaleet voidaan jakaa symmetriaominaisuuksiensa perusteella kolmeen ryhmään: tetraedrisiin, oktaedrisiin ja ikosaedrisiin. Kutakin symmetrialuokkaa vastaa kuusi muotoa, paitsi tetraedrisessa ryhmässä, joka on itsessään symmetrinen siten, että erilaisia muotoja on vain kolme ja niistäkin kaksi on samoja, joilla on myös oktaedrinen symmetria.


Tetraedrinen symmetria
Arkhimedeen monitahokkaat Polyhedron truncated 4a max.png Polyhedron small rhombi 4-4 max.png Polyhedron great rhombi 4-4 max.png
Catalanin kappaleet Polyhedron truncated 4a dual max.png Polyhedron small rhombi 4-4 dual max.png Polyhedron great rhombi 4-4 dual max.png
Oktaedrinen symmetria
Arkhimedeen monitahokkaat Polyhedron 6-8 max.png Polyhedron truncated 6 max.png Polyhedron truncated 8 max.png Polyhedron small rhombi 6-8 max.png Polyhedron great rhombi 6-8 max.png Polyhedron snub 6-8 left max.png
Catalanin kappaleet Polyhedron 6-8 dual blue.png Polyhedron truncated 6 dual.png Polyhedron truncated 8 dual max.png Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png Polyhedron snub 6-8 left dual max.png
Ikosaedrinen symmetria
Arkhimedeen monitahokkaat Polyhedron 12-20 max.png Polyhedron truncated 12 max.png Polyhedron truncated 20 max.png Polyhedron small rhombi 12-20 max.png Polyhedron great rhombi 12-20 max.png Polyhedron snub 12-20 left max.png
Catalanin kappaleet Polyhedron 12-20 dual max.png Polyhedron truncated 12 dual max.png Polyhedron truncated 20 dual max.png Polyhedron small rhombi 12-20 dual max.png Polyhedron great rhombi 12-20 dual max.png Polyhedron snub 12-20 left dual max.png

Eri kappaleiden ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alla olevassa taulukossa tahkon kuvan alla oleva merkintä osoittaa, minkälaisia monikulmioita kappaleen kunkin kärjen ympärillä olevat tahkot ovat. Esimerkiksi merkintä V3.6.6 tarkoittaa, että jokaisessa kärjessä kohtaa toisensa kolme tahkoa, joista yksi on kolmio, molemmat muut kuusikulmioita.

Catalanin kappale
(Duaalinen Arkhimedeen kappale)
Conwayn merkintä
Kuva Särmien
muodostama
verkko
Tahkon muoto
Tahkoja Särmiä Kärkiä Symmetria­ryhmä
triakis-tetraedri
(typistetty tetraedri)
"kT"
Polyhedron truncated 4a dual max.pngTriakistetrahedron.jpg Dual tetrahedron t01 ae.pngDual tetrahedron t01 A2.pngDual tetrahedron t01.png Tasakylkinen kolmio
DU02 facets.png
V3.6.6
12 18 8 Td
rombidodekaedri
(kuboktaedri)
"jC"
Polyhedron 6-8 dual blue.pngRhombicdodecahedron.jpg Dual cube t1 v.png Dual cube t1.pngDual cube t1 B2.png Neljäkäs
DU07 facets.png
V3.4.3.4
12 24 14 Oh
triakis-oktaedri
(typistetty kuutio)
"kO"
Polyhedron truncated 6 dual.pngTriakisoctahedron.jpg Dual truncated cube t01 e88.pngDual truncated cube t01.pngDual truncated cube t01 B2.png Tasakylkinen kolmio
DU09 facets.png
V3.8.8
24 36 14 Oh
tetrakis-heksaedri
(typistetty oktaedri)
"kC"
Tetrakis hexahedronTetrakis hexahedron Dual cube t12 e66.pngDual cube t12.pngDual cube t12 B2.png Tasakylkinen kolmio
DU08 facets.png
V4.6.6
24 36 14 Oh
deltoidinen ikositetraedri
(rombikuboktaedri)
"oC"
Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.pngDeltoidalicositetrahedron.jpg Dual cube t02 f4b.pngDual cube t02.pngDual cube t02 B2.png leija
DU10 facets.png
V3.4.4.4
24 48 26 Oh
disdyakis-dodekaedri
(typistetty kuboktaedri)
"mC"
Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.pngDisdyakisdodecahedron.jpg Dual cube t012 f4.pngDual cube t012.pngDual cube t012 B2.png kolmio
DU11 facets.png
V4.6.8
48 72 26 Oh
pentagonaalinen ikositetraedri
(pullistettu kuutio)
"gC"
Polyhedron snub 6-8 right dual max.pngPentagonalicositetrahedronccw.jpg Dual snub cube e1.pngDual snub cube A2.pngDual snub cube B2.png Pentagon
DU12 facets.png
V3.3.3.3.4
24 60 38 O
rombinen trikontaedri
(ikosidodekaedri)
"jD"
Polyhedron 12-20 dual max.pngRhombictriacontahedron.svg Dual dodecahedron t1 e.pngDual dodecahedron t1 A2.pngDual dodecahedron t1 H3.png Neljäkäs
DU24 facets.png
V3.5.3.5
30 60 32 Ih
triakis-ikosaedri
(typistetty dodekaedri)
"kI"
Polyhedron truncated 12 dual max.pngTriakisicosahedron.jpg Dual dodecahedron t12 exx.pngDual dodecahedron t12 A2.pngDual dodecahedron t12 H3.png Tasakylkinen kolmio
DU26 facets.png
V3.10.10
60 90 32 Ih
pentakis-dodekaedri
(typistetty ikosaedri)
"kD"
Polyhedron truncated 20 dual max.pngPentakisdodecahedron.jpg Dual dodecahedron t01 e66.pngDual dodecahedron t01 A2.pngDual dodecahedron t01 H3.png Tasakylkinen kolmio
DU25 facets.png
V5.6.6
60 90 32 Ih
deltoidaalinen heksekontaedri
(rombikosidodekaedri)
"oD"
Polyhedron small rhombi 12-20 dual max.pngDeltoidalhexecontahedron.jpg Dual dodecahedron t02 f4.pngDual dodecahedron t02 A2.pngDual dodecahedron t02 H3.png leija
DU27 facets.png
V3.4.5.4
60 120 62 Ih
disdyakis-triakontaedri
(typistetty ikosidodekaedri)
"mD"
Polyhedron great rhombi 12-20 dual max.pngDisdyakistriacontahedron.jpg Dual dodecahedron t012 f4.pngDual dodecahedron t012 A2.pngDual dodecahedron t012 H3.png kolmio
DU28 facets.png
V4.6.10
120 180 62 Ih
pentagonaalinen heksekontaedri
(pullistettu dodekaedri)
"gD"
Polyhedron snub 12-20 right dual max.pngPentagonalhexecontahedronccw.jpg Dual snub dodecahedron e1.pngDual snub dodecahedron A2.pngDual snub dodecahedron H2.png Viisikulmio
DU29 facets.png
V3.3.3.3.5
60 150 92 I
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Catalan solid

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Eugène Catalan: Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris), 1865, nro 41, s. 1–71.
  • Magnus Wenniner: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. ISBN 978-0-521-54325-5.
  • Robert Williams: The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc., 1979. ISBN 0-486-23729-X.
  • Anthony Pugh: ”Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms”, Polyhedra: A visual approach. University of California Press. ISBN 0-520-03056-7.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Archimedean Dual Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.
  2. a b Catalan Solid Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.
  3. Virtual Polyhedra: Archimedean Duals georgehart.com. Viitattu 4.8.2018.
  4. Isohedron mathworld.wolfram.com. Viitattu 4.8.2018.
  5. Pentagonal Icositetrahedron Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.
  6. Pentagonal Hexecontahedron Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.