Tasajakauma

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tasajakauma
Tiheysfunktio
Tasajakauman tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Tasajakauman kertymäfunktio
Merkintä tai
Parametrit
Määrittelyjoukko
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Odotusarvo
Mediaani
Moodi mikä tahansa välin piste
Varianssi
Vinous 0
Huipukkuus
Entropia
Momentit generoiva funktio
Karakteristinen funktio

Tasajakauma eli tasainen jakauma [1] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti.[1] Tasajakaumaa merkitään usein

[2] [1][2]

missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit ja rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b].[1]

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi ) simuloidaan jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan .[3]

Todennäköisyysjakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakauman parametrit toteuttavat ehdon , jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli .

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot

[1][4]

ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

[1][4]

Tunnusluvut ja momentit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Momenttifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.[4]

Ensimmäiset origomomentit ovat

ja niiden yleinen termi on

[4]

Keskusmomenttien yleinen muoto on

[4]

Tunnuslukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

[2][4]

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

[2][4]

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

[5][6]

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

[6][7]

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Beta-jakauma vastaa tasaista jakaumaa.[6]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), s.62, Turun Yliopisto, 2012
  2. a b c d Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s.160−185, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  3. Grinstead, C.M. & Snell, J. Laurie: Chapter 5: Important Distributions and Densities, s. 205, oppikirjasta Introduction to Probability
  4. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Uniform Distribution (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria, s.14, Oulun yliopisto, 2002
  7. Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Tasajakauma.