Tasajakauma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tasajakauma
Tiheysfunktio
Tasajakauman tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Tasajakauman kertymäfunktio
Merkintä \mathcal{U}(a, b) tai \mathrm{unif}(a,b)
Parametrit -\infty < a < b < \infty \,
Määrittelyjoukko x \in [a,b]
Tiheysfunktio \begin{cases}
                  \frac{1}{b - a} & \text{kun } x \in [a,b]  \\
                  0               & \text{muulloin}
                \end{cases}
Kertymäfunktio \begin{cases}
                  0               & \text{kun } x < a \\
                  \frac{x-a}{b-a} & \text{kun } x \in [a,b] \\
                  1               & \text{kun } x > b
                \end{cases}
Odotusarvo \tfrac{1}{2}(a+b)
Mediaani \tfrac{1}{2}(a+b)
Moodi mikä tahansa välin [a,b] piste
Varianssi \tfrac{1}{12}(b-a)^2
Vinous 0
Huipukkuus -\tfrac{6}{5}
Entropia \ln(b-a) \,
Momentit generoiva funktio \frac{\mathrm{e}^{tb}-\mathrm{e}^{ta}}{t(b-a)}
Karakteristinen funktio \frac{\mathrm{e}^{itb}-\mathrm{e}^{ita}}{it(b-a)}

Tasajakauma eli tasainen jakauma [1] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti.[1] Tasajakaumaa merkitään usein

X \sim \operatorname{Tas}(a,b) [2] \sim \operatorname{Unif}(a,b) \sim \operatorname{U}(a,b), [1][2]

missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit a ja b rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman P(c \le X \le d) (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b].[1]

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi \scriptstyle {rnd}) simuloidaan \scriptstyle \operatorname{Tas}(0,1)-jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan \scriptstyle (b-a)\cdot {rnd} + a .[3]

Todennäköisyysjakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakauman parametrit a,b \in \mathbb{R} toteuttavat ehdon a<b, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli [a,b].

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot

f_X(x)=\begin{cases}
                  \frac{1}{b - a} & \text{kun } x \in [a,b]  \\
                  0               & \text{kun } x \notin [a,b]
                \end{cases}, [1][4]

ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

F_X(x) = P(X \le x)=\begin{cases}
                  0               & \text{kun } x < a \\
                  \frac{x-a}{b-a} & \text{kun } x \in [a,b] \\
                  1               & \text{kun } x > b
                \end{cases} [1][4]

Tunnusluvut ja momentit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Momenttifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

M(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\, \mathrm{d}x= \int_{a}^b e^{tx} \frac{1}{b-a} \mathrm{d}x
= \frac{1}{t(b-a)}\int_{a}^b te^{tx} \mathrm{d}x =\frac{e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}\, .

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla M(0)=1. Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.[4]

Ensimmäiset origomomentit ovat

\mu=E(X)=\lim_{t \to 0}M'(t)=\tfrac{1}{2}(a+b)
\mu_2=E(X^2)=\tfrac{1}{3}(a^2+ab+b^2)
\mu_3=E(X^3)=\tfrac{1}{4}(a+b)(a^2+b^2)
\mu_4=E(X^4)=\tfrac{1}{5}(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)

ja niiden yleinen termi on

\mu_n=E(X^n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}. [4]

Keskusmomenttien yleinen muoto on

\mu'_n=E((X-\mu)^n)=\frac{(a-b)^n+(b-a)^n}{2^{n+1}(n+1)}. [4]

Tunnuslukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

\mu=\operatorname{E}(X)=\frac{1}{2}(a+b). [4][2]

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

\mu'_2=\operatorname{Var}(X)=\sigma^2=\frac{1}{12}(b-a)^2. [4][2]

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

g_1=\frac{\mu'_3}{{\mu'}^{3/2}_2}=\frac{0}{{\mu'}^{3/2}_2}=0. [5][6]

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

\gamma_2=\frac{{\mu'}_4}{{\mu'}_2^2}-3=-\frac{5}{6}. [7][6]

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Beta-jakauma \beta (1,1) vastaa tasaista jakaumaa.[6]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), s.62, Turun Yliopisto, 2012
  2. a b c d Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s.160−185, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  3. Grinstead, C.M. & Snell, J. Laurie: Chapter 5: Important Distributions and Densities, s. 205, oppikirjasta Introduction to Probability
  4. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Uniform Distribution (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria, s.14, Oulun yliopisto, 2002
  7. Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Tasajakauma.